Дәріс №1 Кіріспе. Жиындар теориясының негізгі ұғымдары. Жиындарға амалдар қолдану

Х жиынындағы х элементі у элементінен R қатыста және у элементі х элементімен R қатыста болса, онда R қатысы симметриялы деп аталады. Мына түрде белгілейді: < = > Х,у Х, х Rу=>у Rх.

Егер Х жиынындағы әр түрлі х,у элементері үшін х элементі у элементімен R қатыста болып, ал у элементі х элементімен R қатыста болмаса, онда антисимметриялы деп аталады.

Егер Х жиынындағы х элементі у элементімен R қатыста, ал у элементі z элементімен R қатыста болуымен қатар х элементі z элементімен R қатыста болса, онда R қатысы транзитивті деп аталады.

Егер Х жиынындағы R қатысы рефлексивті, симметриялы және транзитивті болса, онда R қатысы эквивалентті қатыс деп аталады.

Х жиынында берілген R қатысы антисимметриялы және транзитивті болса, онда R қатысы реттік қатыс деп аталады.

Бұдан барлық қатыстар эквивалентті немесе реттік болады деп ойлауға болмайды. Эквивалентті де, реттік те болмайтын қатыстың түрлері бар.

1-теорема. Егер Х жиынында эквивалентті қатыс берілсе, онда ол осы жиынды қос-қостан қиылыспайтын ішкі жиындарға бөледі. Кері тұжырым да дұрыс. Егер Х жиынында берілген қандай да бір қатыс оны қос – қостан қиылыспайтын ішкі жиынға бөлсе, онда бұл қатыс эквивалентті болады.

2–анықтама. Барлық натурал сандар жиынына эквивалентті жиынды