Туындыға қатысты шешілмеген теңдеуді параметр енгізу жолымен интегралдау

(1.36) теңдеулерді шешу әдісі бойынша (1.35) теңдеудің барлық шешімдерін табатын жағдай туады. Мысалға теңдеуін алайық. Осы теңдеуді қа қатысты шешіп теңдеулерін аламыз. Олардың шешімдері тиісінше болады. Ал берілген теңдеудің интегралдық қисықтары осы екі интегралдық қисықтар жиынынан тұрады.

Ал егер (1.35) теңдеу туындыға қатысты шешілмесе, (1.35) теңдеуді көп жағдайда параметр енгізу жолымен интегралдайды. Төменде кейбір дербес жағдайларды көрсетеміз.

. F( ) =0 теңдеудің жалпы шешімін іздейік. Айталық, болғанда F( )=0 болсын. Онда . Осыдан сонда F( )=0 қатысы берілген теңдеудің жалпы интегралын береді. Мысалы: теңдеудің жалпы шешімі, .

. F( )=0. Бұл теңдеу -қа қатысты шешілмейтін болсын. Айталық және функциялары табылып, , болсын. Осыдан . Бізге екені белгілі. Демек dх= .

-бұл теңдеудің параметрлік шешімі.

Сөйтіп,

Берілген теңдеудің параметрлік шешімі болып табылады.

. F( )=0. Айталық бар болып, , орындалсын.

- параметрлік шешім.

түрінде берілсін.

(1.39)

(1.40)

(1.40)-ті өрнекті (1.39)-ге қоямыз. Сонда

(1.41) теңдеу мына түрге келеді. Мұнда

Егер оның шешімі бар болса оны х=x(p) деп белгілейік. Сонда берілген теңдеудің параметрлік шешімі

Соңғы теңдеу бірінші ретті, туындыға қатысты шешілген теңдеу. Оның шешімі у=y(p) болсын. Онда берілген дифференциалдық теңдеудің параметрлік шешімі

3. 
   Лагранж және Клеро теңдеулері
   

түріндегі теңдеуді Лагранж теңдеуі дейді. Бұл теңдеу ( ) теңдеуінің дербес түрі болып табылады. Лагранж теңдеудің параметрлік шешімі ( ) теңдеудің шығару жолы бойынша табылады .

Бұл теңдеу х айнымалысына қарағанда сызықтық теңдеу. Оның әрқашанда шешімі бар.Оны x=F(p,c) түрінде белгілейміз.