Дәріс №21-22-23. Тұрақты коэффициентті сызықтық дифференциалдық теңдеулер системасы

Эйлер әдісі бойынша (5.16) системаның шешімін

түрінде іздейміз, мұнда

(5.18) және (5.19) өрнектерді (5.16) теңдікке апарып қоямыз:

мұнда Е-бірлік матрица. (5.20) системаны координаттық формада былай да жазуға болады:

(5.21) алгебралық сызықтық біртектес системаның нөлден өзгеше шешімдері бар болу үшін, оның негізгі анықтауышы

нөлге тең болуы керек, демек

(5.22) теңдеу сипаттаушы теңдеу деп аталады. Ал оның сол жағы -ға қарағанда көпмүшелік болады. Оны сипаттаушы көпмүшелік дейді. -ның мәндері (5.22) сипаттаушы теңдеудің түбірі болғанда (5.21) системаның нөлден өзгеше шешімдерін табуға болады. Мұндай шешімдерді А-матрицасының меншікті векторлары, ал (5.22) теңдеудің түбірлерін А-матрицасының меншікті мәндері деп атайды. Әрбір меншікті векторға бір меншікті мән сәйкес келеді, керісінше бір меншікті мәнге бірнеше меншікті векторлар сәйкес келуі мүмкін.

Егер (5.22) теңдеудің түбірлері әртүрлі болса, онда осы түбірлерге сәйкес келетін (5.21) системаның шешімдерін табамыз.

Енді векторын (5.18) теңдікке апарып қойсақ, (5.16) сызықтық біртектес дифференциалдық системаның сызықты тәуелсіз n шешімін аламыз.

немесе

(5.16) дифференциалдық теңдеулер системасының жалпы шешімі

немесе

түрінде анықталады. -еркін тұрақтылар.

Біз жоғарыда дербес жағдайды ғана қарастырдық. Системаның шешімін іздеуде сипаттаушы теңдеудің түбірлері әртүрлі болсын деп жорыдық. Егер сипаттаушы теңдеудің түбірлерінің (А-матрицасының меншікті мәндері) ішінде еселі түбірлер болған жалпы жағдайда, берілген системаның шешімін іздеу үшін төмендегі теорема қолданылады.

Теорема 7. Айталық, А-матрицасының m-әртүрлі меншікті мәндері және сызықты тәуелсіз векторлары болсын. Осы жағдайда (5.16) біртектес системаның шешімі мына түрде анықталады:

Мұнда вектор-функциялар.

Бұл вектор-функциялардың координаттары дәрежесі ( )– ден аспайтын көпмүшеліктер. Мұнда - меншікті мәннің еселігі, ал -ге сәйкес келетін матрицаның сызықты тәуелсіз векторларының саны.

Мысал-1. системасының жалпы шешімін тап.

А-матрицасын жазамыз:

сипаттаушы теңдеуді шешеміз

А- матрицасының меншікті векторын табу үшін

системасын құрамыз.

1. 
   да системадан осыдан
   

2. 
   да системадан осыдан
   

жалпы шешімі немесе координаттық түрде

болады.

Сипаттаушы теңдеуді құрамыз:

Меншікті векторды анықтаймыз.

осыдан , егер деп алсақ, онда

осыдан

жалпы шешім:

координаттық формада:

түрінде болады

Системасының жалпы шешімін тап. Сипаттаушы теңдеуді құрып, түбірлерін табамыз: немесе осыдан . Меншікті векторды табу үшін төмендегі системаны құрамыз.

а) болғанда (тәуелсіз теңдеулер системасы)

осыдан , егер десек, онда - меншікті векторын табамыз.

б) болғанда .

Егер болса, онда - меншікті векторын табамыз.

в) болғанда

Егер болса, онда болар еді. Сонда системаның фундаментальді шешімдері болады. Ал жалпы шешімі координаттық формада төмендегідей болады:



Мысал-4.

Системасының жалпы шешімін тап.

Сипаттаушы теңдеуді шешеміз:

а) болғанда , одан , егер десек, онда

б) түбірі екі еселі түбір. Алдымен осы түбірге сәйкес келетін сызықты тәуелсіз вектордың санын анықтаймыз ге сәйкес келетін

Жоғарыда тұжырымдалған теорема бойынша - ге сәйкес келетін шешімді:

Осы системаның жалпы шешімін табамыз. Сол жақтағы екі теңдеуден b=0, d=-g мәндеріне ие боламыз. Осы мәндерді басқа теңдеулерге қойып, мына теңдеулерді аламыз:

(қалған теңдеулер осы екі теңдеудің салдары болады).

Соңғы екі теңдеуден a=-d, f=d-c. Сонымен барлық белгісіздер d мен c арқылы өрнектелінетін болады. Ол үшін деп алып, мыналарға ие боламыз:

Сонымен, осы мәндерді теңдікке апарып қоямыз. Сонда:

Жалпы шешім координаттық формада былай жазылады:

Бұл әдіс, жалпы алғанда n ретті қалыпты дифференциалдық теңдеулер системасын шешуді n ретті диференциялдық теңдеуге келтіру арқылы шешуге мүмкіндік береді. Әдістің мәні функцияларын системаның теңдеулерінен бірінен соң бірін шығарып тастауға негізделген. Сондықтанда айнымалыны шығарып тастау әдісі деп аталған.

Қалыпты системаны қарастырайық:

Бірінші теңдеуді n ретті дифференциалдау арқылы төмендегі системаны алуға болады:

осы системадан - функцияларын шығарып тастап, нәтижесінде

Соңғы теңдеуді шешу арқылы функциясын анықтаймыз. Жоғарыдағы тәсілмен берілген қалыпты системадан - ге қатысты n ретті дифференциалдық теңдеулерді де алып басқа белгісіз функцияларды табамыз. Нәтижесінде берілген қалыпты системаның шешімдері төмендегі түрде жазылады:

Біздің қарастырған сызықтық системамыз қалыпты сызықтық дифференциалдық теңдеулер системалары болғандықтан, айнымалыны шығарып тастау әдісін сызықты системаны шешуге де әбден қолдануға болады.

Айнымалыны шығарып тастау әдісімен дифференциалдық теңдеулерді шеш.