Математикалық тұжырымдар және олардың құрылымы.
Қарастырылатын мәселелер:
1.Математикалық ұғымдар және оларды қалыптастыру үдерісі.
2.Математикалық ұғымдарды анықтау тәсілдері.
3. Математикалық сөйлемдер. Аксиомалар.
4. Теоремалар, олардың түрлері мен құрылымы, қажетті және жеткілікті шарттар, теореманы дәлелдеу тәсілдері.
Дәрістің қысқаша мазмұны
Математиканы оқытудың басты мақсаттарының бірі оқушыларға саналы, әрі жүйелі білім беру болып табылады. Ал математикалық білім нәрселер мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың байланыстары туралы математика ғылымы тағайындайтын ұғымдардан құралады. Ұғым дегеніміз не? деген сұраққа бірмәнді жауап беру қиын. Ұғым - материяның жоғарғы жемісі болып табылатын мидың жоғарғы жемісі (Философиялық анықтама). Ұғым дегеніміз зерттеу объектісінің елеулі қасиеттері бейнеленген ойлау түрі.
Ұғым адам санасында жалпылау операциясы арқылы қалыптасады. Жалпылаудың әр алуан түрлері болады. Мысалы, үшбұрыш ұғымын алайық. Ол өзінен гөрі жалпы «көпбұрыш» ұғымын өзінің елеулі бөлігін көрсетіп беру арқылы анықталады. Үшбұрыш ол да көпбұрыш, бірақ үш төбесі, үш қабырғасы және үш бұрышы болады.
Қандай да болмасын математикалық ұғымды қалыптастыру бірнеше кезеңдерден тұратын күрделі үдеріс болып табылады.
Математикалық ұғым дегеніміз-математикалық ойлаудың формасы, онда негізінен алғанда, оқып-игерілетін құбылыстың мәнді және ерекше белгілері көрініс табады.
Әрбір математикалық ұғым өзінің мазмұны және көлемі бойынша анықталады. Берілген ұғымның барлық елеулі белгілерінің жиынтығы ұғымның мазмұнын құрайды. Ұғымның мазмұны - берілген ұғымның барлық мәнді белгілерінің жиынтығы. Берілген ұғым таратылатын объектілер жиынтығын ұғымның көлемі деп атайды. Ұғымның көлемі - объектілердің берілген ұғым қолданылатындай жиынтығы. Мысалы, «Төртбұрыш» ұғымын алайық. Бұл ұғымның мазмұны - төрт қабырға, төрт төбе және төрт бұрыш. Көлемі-барлық мүмкін болатын төртбұрыштардың жиыны. «Параллелограмм» ұғымының мазмұнын параллелограммның өзі, ромб, тіктөртбұрыш, квадрат секілді көпбұрыштар жиыны құрайды.
Ұғымның мазмұнын кеңейту оның көлемін тарылтуға алып келеді. Егер «төртбұрыш» ұғымының мазмұнына «қарама –қарсы екі қабырғасы параллель» деген қасиетті қосып, осы ұғымның мазмұнын кеңейттік делік. Сонда ұғымда барлық төртбұрыштардың емес, тек трапецияның елеулі белгілері ғана бейнеленеді. Ұғымның мазмұнын тағы бір белгіге – «басқа екі қабырғасы да параллель» белгісіне кеңейтсек, онда ұғымның көлемін одан әрі тарылтамыз. Осының нәтижесінде мұнда параллелограмдардың елеулі белгілері бейнеленеді.
Ұғымның мазмұнын ашудың барысы оның мәнді белгілерін көрсетіп беру арқылы жүзеге асырылады. Мысалы, «Тік бұрышты үшбұрыш» ұғымын алайық. Оның мазмұны былайша ашылады, ол да үшбұрыш, бірақ бір бұрышы тік болатын үшбұрыш. Математикалық ұғымның мазмұнын осылайша ашып көрсету ұғымға анықтама беру деп аталады. Жалпы айтқанда, ұғымның анықтамасы оның қажетті және жеткілікті белгілерінен тұратын сөйлем. Анықтамаға кіретін әрбір белгі - қажетті, ал барлық белгілері -осы ұғымды анықтауға жеткілікті болу керек. Анықтамада ұғымның негізгі мазмұны айқындалуы керек және артық сөз болмауы керек және жеткілікті белгілері қалдырылып кетпеуі керек. Мысалы, «Қарама - қарсы қабырғалары қос-қостан параллель төртбұрыш- параллелограмм», «Барлық бұрыштары тік параллелограмм - квадрат». «Барлық бұрыштары тік ромб - квадрат», «Барлық қабырғалары тең және барлық бұрыштары тік параллелограмм - квадрат». Бұл ұғымдар тізбегі бір - бірінен туындап отыр. Жалпы алғанда, квадрат - ромбының дербес түрі, ромб -параллелограмның дербес түрі, төртбұрыш - көпбұрыштың дербес түрі, көпбұрыш - геометриялық фигураның дербес түрі, геометриялық фигура - нүктелер жиыны. Сонымен біз алғашқы ұғымдар «нүкте» және «жиынға» келдік.
Математикалық ұғымдар әртүрлі тәсілдермен анықталады. Берілген ұғым жақын тегі және түстік ерекшелігі арқылы анықталатын әдіс генетикалық әдіс деп аталады. Мысалы: «Ромб - диагоналдары өзара перпендикуляр параллелограмм», «Шеңбер - жазықтықтағы берілген нүктеден бірдей қашықтықта жататын нүктелер жиыны».
Кейбір ұғымдар индуктивтік әдіс арқылы анықталады. Мысалы, «Арифметикалық прогрессия» және «Геометриялық прогрессия» ұғымдарына осылайша, реккуренттік теңдіктер арқылы анықтама беруге болады.
Математикалық ұғымдар абстракция арқылы да анықталады.Мысалы, натурал сан - эквивалентті шектеулі жиындар класының сипаттамасы.
Ұғымның көлемінің айқындалуы ұғымның классификациясы деп аталады. Тектік ұғымдар көлемін қүрайтын объектілерді түр-түрге ажыратуды жүйелеу (классификациялау) деп түсінеміз. Мәселен, «Натурал сан» ұғымын «Жай сан», «Құрама сан», «Бір саны» ұғымдарына жүйелеуге болады.
Кейбір математикалық ұғымдарға анықтама берілмейді. Оларды алғашқы ұғымдар деп атайды. Мысалы, жиын, нүкте, сан, шама, түзу, жазықтық, т.с.с. Алғашқы математикалық ұғымдардың қасиеттері аксиомалар арқылы ашылады. Мысалы, «кез келген екі нүкте арқылы жалғыз ғана түзу жүргізуге болады».
Аксиома - грек тілінен алынған сөз, ол «жеткілікті түрдегі келісім» деген мағынаны білдіреді. Аксиома - қандай да бір математикалық теорияны дедуктивтік жолмен құру барысында дәлелдемесіз қабылданатын тұжырым. Аксиоманы кейде постулат деп те атайды. Мысалы, «Евклид V постулаты».
Ақиқат екендігі міндетті түрде дәлелдеуді қажет ететін математикалық тұжырым теорема деп аталады. Жалпы алғанда, теореманы дәлелдеудің төмендегідей әдістерін атап көрсетуге болады: логикалық жолмен дәлелдеу, қарсы жору арқылы дәлелдеу, беттестіру тәсілімен дәлелдеу, т.с.с.
Теорема шарты және қорытындыдан тұрады. Теорема шартынан не берілгенін, ал қорытындысынан нені дәлелдеу ксрек екенін білуге болады. Теорема «егер» деген сөзбен басталса, «онда» деген сөзге дейінгі бөлігі- оның шарты, ал онда деген сөзден аяғына дейінгі бөлігі - қорытындысы.
Теореманы түсіну және дәлелдеу барысында дұрыс салынған сызбаның маңызы өте зор.
Теореманы оқушылардың бұрыннан білетін материалдарына сүйеніп, оларды негізге ала отырып логикалық жолмен дәлелдейтініміз белгілі. Дәлелдеу процесінде қарастырылып отырған теорема мен өтілген теоремалар арасындағы логикалық байланысты көрсету үшін бір-екі теорема алып, олар «бұрынғы» қандай теоремалар арқылы дәлелденетінін схема сызып түсіндірген жөн.
Қарсы жорып дәлелдеу әдісі математикада жиі қолданылады, сондықтан оған оқушыларды ертерек дағдыландырып, үйрету керек. Бұл әдісті қолданып теорема дәлелдегенде оқушылар мынадай қиыншылықтарға кездеседі: а) белгілі дәлелдерді пайдалана отырып, тура жолмен дәлелдеуге үйренген оқушыларға, қарсы жорып дәлелдеу түсініксіз болады; б) көзбе-көз дұрыс емес деп (әсіресе, сызба теріс сызылғанда) ұйғарудың қандай қажеттігі бар екендігі де оқушыларға түсініксіз болады. Мысалы, бір түзуге жүргізілген екі перпендикуляр туралы теореманы дәлелдегенде бір мұғалім, сызба жөнінде еш нәрсе айтпай, «бір түзуге жүргізілген екі перпендикуляр бір Р нүктесінде қиылысады екен дейік»,- деп тақтаға екі перпендикулярды Р нүктесінде қиылыстырып сызған делік. «Р нүктесінен түзуге неше перпендикуляр түсіріледі?» дегенде кей балалар «төртеу», кейбіреулері «Р нүктесінен бір де бір перпендикуляр түсірілген жоқ» деп жауап берген. Бұл сызбаның нені кескіндейтінін оқушылардың түсінбейтіндігі. Істелінетін істің, керісінше, теріс жақтарын байқап қарап, содан кейін қорытынды жасау өмірде де көп кездеседі. Сондықтан мүғалім өмір тәжірибесінен мысалдар келтіруіне болады. Бүл әдістің бір жақсылығы, дәлелдегенде қорытындының дұрыс жағымен қатар, оның бірнеше қате жақтарымен танысуға мүмкіншілік болады.
Математикалық ұғымды қалыптастыруда сөз және символдар арқылы бейнелеу үлкен роль атқарады. Сөз дегеніміз ұғымның тасымалдаушысы болып табылады. Қандай да болмасын қатаң түрде анықталатын математикалық ұғымды сипаттайтын сөз математикалық термин деп аталады.
| 
