Сандық қатарлар. Қатарлардың қосындысы мен қатар жиынтығы

Егер

бар және ақырлы болса, онда сандық қатар жинақты,ал (11.2) шек жоқ немесе шектелмеген болса, қатар жинақсыздеп аталады. Берілген (11.1) қатардың шегі болатын S саны оның қосындысыдеп аталады.

М.1*.а)   ; ә)   ; б)   ; қатарларын жинақтылыққа зерттеп, егер жинақты болса олардың қосындысын табайық.

Шешу. а) Берілген қатардың мүшелері -   еселігі   болатын, геометриялық прогресия болып табылады. Ендеше, оның алғашқы   -мүшесінің қосындысы,

өрнегімен анықталады. Бұдан   болғанда   , ал   -  болатындығын көреміз. Еендеше, (*) n-дербес қосындыдан шекке көшсек,   болғанда қатардың қосындысы

болып шығады. Демек, қатар жинақты.

Егер де,   болса, берілген қатар жинақсыз.

ә) Берілген сандық қатардың бөлімін түрлендіру арқылы, жәй бөлшектерге жіктейік. Сондықтан, 

болғандықтан   . (1)

Онда (1) жәй бөлшекті пайдаланып берілген сандық қатардың n-дербес мүшесін мына түрде жазуға болады:

Енді бұл қосындыны жеке-жеке ашып жазайық,

Онда 

Ендеше, берілген сандық қатар жинақты, ал оның қосындысы   .

б) Жаңағы тәсіл бойынша қатар астындағы өрнекті жәй бөлшектерге жіктейік

Онда

Енді берілген қатарға сәйкес n-дербес қосындыны құрайық, яғни

Ендеше,

Бұдан берілген қатар жинақты, ал оның қосындысы   болсын.

 

 (11.3)

қалдық қатардеп аталады.

М. 4*.а)   , ә)   қатарларын жинақтылыққа зерттейік.

Болғандықтан, оны   бигармоникалық жинақты қатармен (М, 3*) салыстырайық. Онда (11.7) қатынасты қарастыралық

Ендеше, 11.5 теорема бойынша берілген а) қатары жинақты.

ә) Бұл қатарды   гармоникалық жинақсыз қатармен (М. 3*) салыстырайық, 11.5-шектік теорема бойынша,   . Демек, берілген қатар жинақсыз.

11.6 Теорема(Д’Аламбер белгісі). Айталық,   қатары үшін

шегі бар болсын. Онда:

1º.   - берілген қатар жинақты;

2º,   - қатар жинақсыз.

11.7 Теорема(Коши белгісі). Айталық,   болғандағы   сандық қатары үшін

 (11.9)

шегі бар болсын. Онда:

1º.   - қатар жинақты;

Айталық,   болсын. Енді көмекші

қатарын қарастырайық, Егер   болса, (*) қатары, еселігі   болатын геометриялық прогрессияның қосындысы болғандықтан, жинақсыз болады. Ал   болғанда (*) қатары   болғандықтан, жинақты.

Сонымен, соңғы 11.8 Коши теоремасы бойынша,   ─ Дирихле қатары   болғанда жинақты және   болғанда жинақсыз болады.

М.7*.   қатарын жинақтылыққа зерттейік.

Шешуі. Берілген қатарды   -дықтан, мүшелері