Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы түсінік

Нақты сан – кез келген оң, теріс және нөл сандары. Ол рационал сандар және иррационал сандар болып бөлінеді. Нақты сан түсінігі рационал сан ұғымын кеңейтуден шыққан. Кеңейтудің қажеттілігі кез келген шаманың мәнін толық анықталған сан көмегімен өрнектеуден және математиканың ішкі дамуынан пайда болды. Мысалы: сандарға орындалатын бірсыпыра амалдарды пайдалану облысын кеңейту (түбір астынан шығару, логарифмдерді есептеу, теңдеулерді шешу және т.б.). Нақты сандардың жалпы ұғымын ертедегі грек математиктері салыстырып өлшеуге болмайтын кесінділер теориясында берді. Жүйелі теорияны тек 19 ғасырдың соңында Г.Кантор,Р.Дедекинд және К.Вейерштрасс жасады. Барлық нақты сандар жиыны сан түзуі деп аталады және деп белгіленеді. сызықты реттелген жиын және негізгі арифмет. амалдарға (қосу мен көбейту) қатысты өріс құрады. Сан түзуі геометриялық түзуге ұқсас, былайша айтқандадегі сандар мен түзудегі нүктелер арасында реттілігі сақталатын өзара бірмәнді сәйкестік орнатуға болады. Осы сәйкестіктен сан түзуінің үздіксіздігі шығады. Түзудің үздіксіздігі жөніндегі қағида қазіргі матем. талдаудың негізі болып табылады.

СD

Өлшем бірлігі ретінде кіші кесіндіні аламыз. А нүктесінен бастап АВ кесіндісін СD кесіндісі арқылы өлшейміз. Өлшеу СD кесіндісінен кіші РВ кесіндісі қалғанша жүргізіледі.

Өлшеу СD кесіндісінің   бөлігінен кіші Р1В кесіндісі қалдық болып қалғанша жүргізіледі. Сурет бойынша Р1В кесіндісі СD кесіндісінің  бөлігін бес рет өлшегенде шығады. Жаңа Р1В кесіндісін СD кесіндісінің  бөлігінен кіші Р2В кесіндісі қалдық болып қалғанға дейін СD кесіндісінің  бөлігімен өлшейміз. Өлшеуді осылай жалғастыра беруге болады. Мұндай өлшеу нәтижесінің үш жағдайы бар.

1-жағдай. Өлшеу қандай да бір қадамда аяқталып, нәтижесінде рационал сан шығады.

2-жағдай. Өлшеу шексіз жалғасады және нәтижесінде шексіз периодты ондық бөлшек шығады.

3-жағдай. Өлшеу шексіз жалғасады, нәтижесінде шексіз периодты емес ондық бөлшек шығады.

1-мысал. Рационал сандардың арасында квадраты 2-ге тең санның болмайтынын дәлелдейік.

Д/еу: Қарсы жоримыз. Яғни сондай сан бар дейік. Ол санды  қысқартылмайтын бөлшек түрінде жазамыз. Екінші дәрежеге шығарамыз. =2 немесе  . 2n2 –жұп сан, демек m2 саны да жұп сан. Ендеше m санының өзі де жұп болғаны. m жұп санын m=2k (к бүтін сан) түрінде жазуға болады. Енді осы мәнді   теңдігіне қойсақ, (2k)2  немесе  немесе   аламыз. 2k2 саны жұп сан, ендеше n2 саны да жұп. Нәтижесінде   бөлшегінің алымы және бөлімі жұп сандар болады, яғни бөлшек қысқартылады. Бұл   бөлшегінің қысқартылмайтын бөлшек екенінен қайшы. Демек, квадраты 2-ге тең рационал сан бар деген жорамал қате.

А-ма: Кез келген шекті периодты емес ондық бөлшек иррационал сан деп аталады.

Пайдаланылған әдебиеттер

1 Ахметова Г.С. Математические методы. – Алматы: Наука, 2003. – 216 С.