Дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения, не содержащие явно искомой функции
жүктеу/скачать 0,66 Mb.
|
Лекции 6-7
- Бұл бет үшін навигация:
- Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка
- Определение.
Уравнения, не содержащие явно искомой функциии ее производных до порядка k – 1 включительно. Это уравнения вида: В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной: Тогда получаем: Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением: Делая обратную подстановку, имеем: И нтегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ: Пример. Найти общее решение уравнения . Применяем подстановку Произведя обратную замену, получаем: О бщее решение исходного дифференциального уравнения: Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной. Это уравнения вида Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных и т.д. Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем: Если это уравнение проинтегрировать, и - совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка: Пример. Найти общее решение уравнения Замена переменной: 1) Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену переменной: С учетом того, что , получаем: Общий интеграл имеет вид: 2) Таким образом, получили два общих решения. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Определение._Линейным_дифференциальным_уравнением_n__–_го_порядка'>Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных вида: где p0, p1, …,pn – функции от х или постоянные величины, причем p0 ¹ 0. Левую часть этого уравнения обозначим L(y). Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) ¹ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, … pn – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами. Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным. Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков. жүктеу/скачать 0,66 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|