Дирихле есебі + + Дирихле



Дата05.12.2022
өлшемі1,22 Mb.
#161191
Байланысты:
Дирихле есебі
Жарық комб шашаырау

Дирихле есебі


2
+
2
+

Дирихле


Математикалық физикада Дирихле принципі потенциалдық теорияға сілтеме жасайды және келесідей тұжырымдалады:егер u(x) функциясы Пуассон теңдеуінің шешімі болса:
облысында шекаралық шарты бойынша u=g шекарасында , онда u вариациялық есептің шешімі ретінде табылуы мүмкін: минимумды табу.
барлық екі рет дифференциалданатын функциялардың арасында v, ​​Ω шекарасында v = g болатындай.
Бұл тұжырымды неміс математигі Дирихле тұжырымдаған (бірақ дәлелденбеген). Карл Вейерштрасс Дирихле принципінің кейбір жағдайларда қате екенін көрсетті; кейінірек оны қолдану шарттарын Бернхард Риман, Анри Пуанкаре, Дэвид Гильберт және басқа математиктер нақтылады.

Бiртектi денеде температураның тұрақталып таралуы

  • Бiртектi Т денесi σ бетiмен шектелген болсын дейiк. Дененiң

  • әртүрлi нүктелерiндегi температура
    теңдеуiн қанағаттандырады. Егер температура уақыттан тәуелсiз болса, яғни , онда дененiң температурасы Лаплас теңдеуiн
    қанағаттандырады.
    Осы теңдеуден дененiң температурасы бiр мәндi анықталуы үшiн σ бетiндегi температураны бiлу керек. Сондықтан Лаплас теңдеуі үшiн шеттiк есеп былай қойылады:

Дирихле есебi (бiрiншi шеттiк есеп)


4
Берiлген Т облысында гармоникалық функция болатын, тұйық
облысында үзiлiссiз және облыстың σ шекарасында берiлген үзiлiссiз функциясына тең, яғни
шартын қанағаттандыратын u(M) функциясын табу керек. Егер
температураның таралуы жазықтықтағы С контуры мен D облысында қарастырылатын болса, онда теңдеуiн
қанағаттандыратын және С контурында ψ(𝑀) функциясына тең u(x,y) функциясын табу керек.
2
+
Жартылай кеңістік үшін Дирихле есебі. Шектік есебінің шешімін табу керек.
Бұл есепте Σ кеңістікті шексіздікте тұйықталанатын z=0 жазықтығы ретінде қарастыруға болады. Грин функциясын табу үшін электростатикалық аналогияны қолданамыз.
Егер q нүктелік заряд өткізгіш жерге тұйықталған z=0 жазықтығы жанында орналасса, онда нүктесіне -q теріс заряд орналастырып z>0 облысында электростатикалық өрістің потенциалын табуға болады.
Ізделінді потенциал q және -q зарядтар потенциалдарының қосындысына тең болғандықтан, Грин функциясын келесі түрде анықтаймыз:
Мұндағы:
Σ кеңістігінде r1=r болады, сондықтан
Енді Σ кеңістігіне сыртқы нормаль бойынша функциясының туындысын аламыз:
Онда жартылай кеңістік үшін Дирихле есебінің шешімі:
теңдеудін оң жағындағы интеграл жартылай кеңістік үшін Пуассон интегралы деп аталады.

Достарыңызбен бөлісу:




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет