Дирихле есебі + + Дирихле
жүктеу/скачать 1,22 Mb.
|
Дирихле есебі
- Бұл бет үшін навигация:
- Бiртектi денеде температураның тұрақталып таралуы
- Дирихле есебi (бiрiншi шеттiк есеп)
Дирихле есебі2 + 2 + ДирихлеМатематикалық физикада Дирихле принципі потенциалдық теорияға сілтеме жасайды және келесідей тұжырымдалады:егер u(x) функциясы Пуассон теңдеуінің шешімі болса: облысында шекаралық шарты бойынша u=g шекарасында , онда u вариациялық есептің шешімі ретінде табылуы мүмкін: минимумды табу. барлық екі рет дифференциалданатын функциялардың арасында v, Ω шекарасында v = g болатындай. Бұл тұжырымды неміс математигі Дирихле тұжырымдаған (бірақ дәлелденбеген). Карл Вейерштрасс Дирихле принципінің кейбір жағдайларда қате екенін көрсетті; кейінірек оны қолдану шарттарын Бернхард Риман, Анри Пуанкаре, Дэвид Гильберт және басқа математиктер нақтылады. Бiртектi денеде температураның тұрақталып таралуы
әртүрлi нүктелерiндегi температура теңдеуiн қанағаттандырады. Егер температура уақыттан тәуелсiз болса, яғни , онда дененiң температурасы Лаплас теңдеуiн қанағаттандырады. Осы теңдеуден дененiң температурасы бiр мәндi анықталуы үшiн σ бетiндегi температураны бiлу керек. Сондықтан Лаплас теңдеуі үшiн шеттiк есеп былай қойылады: Дирихле есебi (бiрiншi шеттiк есеп)4 Берiлген Т облысында гармоникалық функция болатын, тұйық облысында үзiлiссiз және облыстың σ шекарасында берiлген үзiлiссiз функциясына тең, яғни шартын қанағаттандыратын u(M) функциясын табу керек. Егер температураның таралуы жазықтықтағы С контуры мен D облысында қарастырылатын болса, онда теңдеуiн қанағаттандыратын және С контурында ψ(𝑀) функциясына тең u(x,y) функциясын табу керек. 2 + Жартылай кеңістік үшін Дирихле есебі. Шектік есебінің шешімін табу керек. Бұл есепте Σ кеңістікті шексіздікте тұйықталанатын z=0 жазықтығы ретінде қарастыруға болады. Грин функциясын табу үшін электростатикалық аналогияны қолданамыз. Егер q нүктелік заряд өткізгіш жерге тұйықталған z=0 жазықтығы жанында орналасса, онда нүктесіне -q теріс заряд орналастырып z>0 облысында электростатикалық өрістің потенциалын табуға болады. Ізделінді потенциал q және -q зарядтар потенциалдарының қосындысына тең болғандықтан, Грин функциясын келесі түрде анықтаймыз: Мұндағы: Σ кеңістігінде r1=r болады, сондықтан Енді Σ кеңістігіне сыртқы нормаль бойынша функциясының туындысын аламыз: Онда жартылай кеңістік үшін Дирихле есебінің шешімі: теңдеудін оң жағындағы интеграл жартылай кеңістік үшін Пуассон интегралы деп аталады. жүктеу/скачать 1,22 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|