Дискретная случайная величина

1) таблично (рядом распределения);

2) графически;

3) аналитически (в виде формулы).

В примере 1 закон распределения задан в виде ряда распределения (таблицей 5.1), где представлены все возможные значения х_i и соответствующие им вероятности р_i = Р ( Х = х_i ). При этом вероятности р_i удовлетворяют условию:

,

потому что

где число возможных значений n может быть конечным или бесконечным.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Для его построения возможные значения случайной величины (х_i) откладываются по оси абсцисс, а вероятности (р_i) – по оси ординат. Точки А_i c координатами (х_i, р_i) соединяются ломаными линиями.

Функция F(х) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

Пример 2.

Для задачи в примере 1 найти функцию распределения вероятности F(х) этой случайной величины и построить ее. Построить многоугольник распределения.

Решение.

Если 0 < х £ 1, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8.

Если 1 < х £ 2, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 = 0,5.

Если 2 < х £ 3, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8.

Если х > 3, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.

В таблицу 5.2 внесены значения функции распределения вероятности F(х) случайной величины – х.

Таблица 5.2

Таблица 5.3

1. 
   Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
   
2. 
   Математическое ожидание может быть как положительным, так и отрицательным числом.
   
3. 
   Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной. М (С) = С.
   
4. 
   Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.
   

5. 
   Математическое ожидание произведения двух или нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.
   

6. 
   Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
   

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.

Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю: D (С) = 0.

Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D (СX) = С²×D(X).

Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией: D(X +Y) = D(X) + D(Y).

3) Среднее квадратическое отклонениеs(Х) дискретной случайной величины Х определяется формулой (5.2). Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина.

Случайная величина называется центрированной, если математическое ожидание M(X)=0, и стандартизированной, если M(X)=0 и среднее квадратическое отклонение s = 1.

Рассмотрим на примере вычисление числовых характеристик дискретных случайных величин.

Пример 3.

Найти математическое ожидание М (Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение s(Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения в таблице 5.4.

Таблица 5.4

Решение. Математическое ожидание Х вычисляется по формуле (5.4):

М(Х)= –5× 0,4 + 2× 0,3 + 3× 0,1 + 4× 0,2 = -0,3.

Дисперсия вычисляется по формуле (5.6): D(Х) = М(Х²) – [М(Х)]².

Закон распределения квадрата Х² случайной величины задан в таблице 5.5.

Таблица 5.5

М(Х²) = 25×0,4 + 4×0,3 + 9× 0,1 + 16×0,2 = 15,3.

Искомая дисперсия:

D(Х) = М(Х²) – [М(Х)]² = 15,3 – (– 0,3)2 = 15,21.