Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между полученными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями. Его можно задать:
1) таблично (рядом распределения);
2) графически;
3) аналитически (в виде формулы).
В примере 1 закон распределения задан в виде ряда распределения (таблицей 5.1), где представлены все возможные значения хi и соответствующие им вероятности рi = Р ( Х = хi ). При этом вероятности рi удовлетворяют условию:
,
потому что
,
где число возможных значений n может быть конечным или бесконечным.
Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Для его построения возможные значения случайной величины (хi) откладываются по оси абсцисс, а вероятности (рi) – по оси ординат. Точки Аi c координатами (хi, рi) соединяются ломаными линиями.
Функция F(х) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
где суммирование ведется по всем значениям i, для которых хi< х.
Пример 2.
Для задачи в примере 1 найти функцию распределения вероятности F(х) этой случайной величины и построить ее. Построить многоугольник распределения.
Решение.
Если х £ 0, то F(х) = Р ( Х < х ) = 0.
Если 0 < х £ 1, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8.
Если 1 < х £ 2, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 = 0,5.
Если 2 < х £ 3, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8.
Если х > 3, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.
В таблицу 5.2 внесены значения функции распределения вероятности F(х) случайной величины – х.
Таблица 5.2
№
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
хi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
>3
|
функция распределения F(х)
|
0
|
0,125
|
0,5
|
0,875
|
1
|
Для построения многоугольника распределения значения случайной величины х переписаны в другой форме из таблицы 5.1 в таблицу 5.3.
Таблица 5.3
№
|
1
|
2
|
3
|
4
|
хi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
Ряд распределения Р(хi)= рi
|
0,125
|
0,375
|
0,375
|
0,125
|
1) Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины Х это сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:
|
М(Х) = x1· p1 + x2· p2 + … + xn· pn.
|
(5.4)
|
Свойства математического ожидания:
Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
Математическое ожидание может быть как положительным, так и отрицательным числом.
Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной. М (С) = С.
Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.
М (X + Y + . . . + W) = М (X) + М (Y) + . . . + М (W).
Математическое ожидание произведения двух или нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.
М (XY) = M(X) × M(Y).
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ) = С× М(Х).
2) Дисперсия D(X) дискретной случайной величины Х – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:
|
D(X) = M [X – M(X)]2.
|
(5.5)
|
Формула (5.5) после возведения в степень и преобразований имеет вид:
|
D(X) = M (X2) – [M(X)]2.
|
(5.6)
|
Свойства дисперсии:
Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.
Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю: D (С) = 0.
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D (СX) = С2×D(X).
Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией: D(X +Y) = D(X) + D(Y).
3) Среднее квадратическое отклонениеs(Х) дискретной случайной величины Х определяется формулой (5.2). Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина.
Случайная величина называется центрированной, если математическое ожидание M(X)=0, и стандартизированной, если M(X)=0 и среднее квадратическое отклонение s = 1.
Рассмотрим на примере вычисление числовых характеристик дискретных случайных величин.
Пример 3.
Найти математическое ожидание М (Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение s(Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения в таблице 5.4.
Таблица 5.4
Х
|
-5
|
2
|
3
|
4
|
р
|
0,4
|
0,3
|
0,1
|
0,2
|
Решение. Математическое ожидание Х вычисляется по формуле (5.4):
М(Х)= –5× 0,4 + 2× 0,3 + 3× 0,1 + 4× 0,2 = -0,3.
Дисперсия вычисляется по формуле (5.6): D(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2.
Закон распределения квадрата Х2 случайной величины задан в таблице 5.5.
Таблица 5.5
Х2
|
25
|
4
|
9
|
16
|
р
|
0,4
|
0,3
|
0,1
|
0,2
|
Математическое ожидание Х2:
М(Х2) = 25×0,4 + 4×0,3 + 9× 0,1 + 16×0,2 = 15,3.
Искомая дисперсия:
D(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2 = 15,3 – (– 0,3)2 = 15,21.
Тогда среднее квадратическое отклонение будет: .
Достарыңызбен бөлісу: |