Дискретная случайная величина



бет2/2
Дата06.01.2022
өлшемі27,63 Kb.
#109919
түріУрок
1   2
Байланысты:
Дискретная случайная величина

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между полученными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями. Его можно задать:

1) таблично (рядом распределения);

2) графически;

3) аналитически (в виде формулы).

В примере 1 закон распределения задан в виде ряда распределения (таблицей 5.1), где представлены все возможные значения хi и соответствующие им вероятности рi = Р ( Х = х). При этом вероятности рудовлетворяют условию:

,

потому что



,

где число возможных значений n может быть конечным или бесконечным.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Для его построения возможные значения случайной величины (хi) откладываются по оси абсцисс, а вероятности (рi) – по оси ординат. Точки Аi c координатами (хi, рi) соединяются ломаными линиями.

Функция F(х) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:



 

,

(5.3)

где суммирование ведется по всем значениям i, для которых хi< х.

Пример 2.

Для задачи в примере 1 найти функцию распределения вероятности F(х) этой случайной величины и построить ее. Построить многоугольник распределения.

Решение.


Если х £ 0, то F(х) = Р ( Х < х ) = 0.

Если 0 < х £ 1, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8.

Если 1 < х £ 2, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 = 0,5.

Если 2 < х £ 3, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8.

Если х > 3, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.

В таблицу 5.2 внесены значения функции распределения вероятности F(х) случайной величины – х.

 

Таблица 5.2





1

2

3

4

5

хi

0

1

2

3

>3

функция распределения F(х)

0

0,125

0,5

0,875

1

Для построения многоугольника распределения значения случайной величины х переписаны в другой форме из таблицы 5.1 в таблицу 5.3.

Таблица 5.3





1

2

3

4

хi

0

1

2

3

Ряд распределения Р(хi)= рi

0,125

0,375

0,375

0,125

1) Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины Х это сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:

 

М(Х) = x1· p1 + x2· p2 + … + xn· pn.

(5.4)

Свойства математического ожидания:

  1. Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

  2. Математическое ожидание может быть как положительным, так и отрицательным числом.

  3. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной. М (С) = С.

  4. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.

М (X + Y + . . . + W) = М (X) + М (Y) + . . . + М (W).

  1. Математическое ожидание произведения двух или нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

М (XY) = M(X) × M(Y).

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = С× М(Х).

2) Дисперсия D(X) дискретной случайной величины Х – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

 

D(X) = M [X – M(X)]2.

(5.5)

Формула (5.5) после возведения в степень и преобразований имеет вид:

 

D(X) = M (X2) – [M(X)]2.

(5.6)

Свойства дисперсии:

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.

Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю: D (С) = 0.

Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D (СX) = С2×D(X).

Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией: D(X +Y) = D(X) + D(Y).

3) Среднее квадратическое отклонениеs(Х) дискретной случайной величины Х определяется формулой (5.2). Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина.

Случайная величина называется центрированной, если математическое ожидание M(X)=0, и стандартизированной, если M(X)=0 и среднее квадратическое отклонение s = 1.

Рассмотрим на примере вычисление числовых характеристик дискретных случайных величин.

Пример 3.

Найти математическое ожидание М (Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение s(Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения в таблице 5.4.

Таблица 5.4



Х

-5

2

3

4

р

0,4

0,3

0,1

0,2

 

Решение. Математическое ожидание Х вычисляется по формуле (5.4):

М(Х)= –5× 0,4 + 2× 0,3 + 3× 0,1 + 4× 0,2 = -0,3.

Дисперсия вычисляется по формуле (5.6): D(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2.

Закон распределения квадрата Х2 случайной величины задан в таблице 5.5.

Таблица 5.5



Х2

25

4

9

16

р

0,4

0,3

0,1

0,2

Математическое ожидание Х2:

М(Х2) = 25×0,4 + 4×0,3 + 9× 0,1 + 16×0,2 = 15,3.

Искомая дисперсия:

D(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2 = 15,3 – (– 0,3)2 = 15,21.



Тогда среднее квадратическое отклонение будет:  .

Достарыңызбен бөлісу:
1   2




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет