Дискретті кездейсоқ шама. Монте-Карло әдісімен модельдеу

жүктеу/скачать 114,74 Kb.

бет	4/5
Дата	09.01.2022
өлшемі	114,74 Kb.
	#110439

1 2 3 4 5

Байланысты:
docsity-diskretti-kezdeyso-shama-monte-karlo-disimen-modeldeu-1

Пуассон үлестірімі

Егер тәуелсіз сынақтарда n үлкен сан болса және р- ның щамасы кіші болса, онда кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің сәйкес ықтималдықтарын Пуассон формуласымен

^λk−λ

P ⁽X=x ⁾=P_n⁽k ⁾≈ _k_!e

есептеу керек.

, λ=np

Бұл жағдайда кездейсоқ шама Пуассондық үлестірім заңымен берілген дейді. Бернулли схемасына негізделген тағыда басқа үлестірімді келтірелік.

M (x )=λ, D ( x )= λ , A =¹, E = ¹

s _√_λk _λ

Геометриялық үлестірім

Айталық, тәуелсіз сынақтарда Бернулли сызбасы қарастырылсын, мұндағы ^P⁽^A⁾^{p .}Сонда қатарынан (k-1) рет оқиғасы пайда болып, ал k- ыншы реттегі А оқиғасының пайда болу ықтималдылығы мына формуламен анықталады

P (k , p )=(1− p )^k⁻¹ p^m
6

Ықтималдылығы осы формуламен анықталған ^k⁼^1,2,³^…ⁿкездейсоқ шаманы геометриялық үлестіріммен берілген дейді.

M (x )=¹⁻^p, D ( x )= ¹⁻^p

_p_p2

Паскаль үлестірімі

Тәуелсіз сынақтарда оқиғасы қатарынан k-1 рет пайда болып, сосын А оқиғасы m рет пайда болуының ықтималдығы мына формуламен анықталады.

k+ m−2
_∏(k , p , m )=C^k⁻¹ (1− p )^k⁻¹ p^m

Ықтималдығы осы формуламен анықталған кездейсоқ шама Паскаль үлестіріммен берілген дейді. Геометриялық үлестірім Паскаль үлестірімнің жеке жағдайы, яғни m=1 болғанда геометриялық үлестірімді аламыз.

_M₍_x₎₌m (1−p) _,_D₍_x₎₌m (1− p)

_p_p2

Гипергеометриялық үлестірім

Егер X кездейсоқ шамасының мүмкін мәндері 0, 1, 2,3 ...k болып, ал сәйкес ықтималдықтарына мына формуламен

p=C^k C^m⁻^k / C^m

n N−n N

анықталса, онда кездейсоқ шама гипергеометриялық үлестіріммен берілген дейді.

M (x )=mp , D ( x )= ^N⁻^mmpq

N −1

Мұнда ^m^∈^0,¹^∗^Nболғанда ^D⁽^x⁾^≈^mpqболады, яғни биномдық үлестірімнің дисперсиясына жуықтап тең болады.

_Ck _Cm−k

n N−n _≈Ck _pk _qm−k

C
m ^m

N

N
Болады. Осы жағдайда ^p≈^m
болады

^ξ^{кездейсоқ}^{шамасының}^{үлестірім функциясы}^Fξ ⁽^x⁾^{дискрет}^{үлестірім}функциясы болсын.

^Онд^а^C^´⁽^Fξ ⁾⁼^{^x1 ^,^x2 ^,^…^}^,^мұн^дағ^ы^xk ^нүкте^л^е^рі^үшін

P_k=P_ξ_{x_k_}=P _{ξ= x_k_}=F_ξ₍x_k₎−F_ξ₍x_k−0₎

^Яғн^и^Pξ ^үл^ест^ірім^заң^ы⁽^ықт^и^м^а^л^ды^қ^ө^л^ш^е^мі)^C^´⁽^Fξ ⁾^ж^иыныны^ң

k
нүктелерінде шоғырланған және ^∑^p^k⁼¹. Мұндай кездейсоқ шама үшін оның кез келген ^B^∈^β⁽^R⁾борелдік жиынына түсу ықтималдығы

P_ξ( B)=P {ξ ∈ B}= _∑

i : x_i∈B

P _{ξ=x_i_}= _∑

i : x_i∈ B

P_ξ_{x₁_}= _∑p_i

i : x_i∈B

Бұдан жеке жағдай ретінде үлестірім функциясы үшін

F_ξ( x )=P {ξ ≤ x }= _∑

i : x_i≤ x
қатынасын аламыз.

P _{ξ=x₁_}=¿ _∑

i : x_i ∈B

P_ξ_{x₁_}= _∑

i : x_i∈ B

_[F_ξ₍x₁₎−F_ξ₍x₁−0 ₎_]¿

^Егер^ξ^{кездейсоқ шамасының}^Pξ ^{үлестірім}^заңы^Pξ ⁽^B⁾^{қатынасымен}анықталса, онда мұндай шаманы дискрет кездейсоқ шама деп атаймыз. Басқаша айтқанда, дискрет кездейсоқ шама дегеніміз қабылдайтын мәндерінің жиыны арқылы не саналымды жиын болатын кездейсоқ шама:

ξ : Ω→ X =_{x₁, x₂,… _}⊆ R

Айта кетелік, дискрет ықтималдық кеңістігінде анықталған кез келген сандық мәнді функция дискрет кездейсоқ шама болады, себебі

Ω =₍ω₁, ω₂,…₎_үш_і_нF={ A : A ⊆ Ω } , ξ : Ω → X=_{ξ( ω₁), ξ ₍ω₂₎,…_}_ж_ән_е_ке_з_ке_л_ге_н

^B^∈^β⁽^R⁾борелдік жиыны үшін

i
_ξ⁻¹₍_B₎₌_{ω : ξ( ω)∈ B _}=¿ i : x₁∈ B _{ω : ξ (ω)=x₁_}∈ F ,_∑P_ξ_{x_i_}=1_.

Дискретті кездейсоқ шамалар

Кездейсоқ шама- ықтималдық теориясының негізгі ұғымдарының бірі.

Кездейсоқ шама- жағдайға тәуелді бергілі бір ықтималдығы бар әр түрлі мән алатын қандай да бір щама. Кездейсоқ шаманың маңызды сипаттамасының біріне оның таралуы (үлестірілу) ықтималдығы жатады.

Егер X кездейсоқ шамасы шекті не шексіз әр түрлі х1, х2, ...хn, ... мәндер тізбегін қабылдаса, онда Х кездейсоқ шамасының таралу ықтималдығы (таралу заңы) сол х1, х2, ...хn, ... мәндері мен оларға сәйкесті p1, p2, …pn, … ықтималдықтарды көрсету арқылы беріледі. Кездейсоқ

шаманың мұндай түрі дискретті кездейсоқ шама =[a, b] кесіндісі a, b] кесіндісі ] кесіндісі △ деп аталады. Басқа бір жағдайларда таралу ықтималдығы әрбір үшін ^a^∈^x^∈^bтеңсіздігінің ^PX⁽^a^,^b⁾ықтималдығын көрсету арқылы беріледі. Әсіресе

кездейсоқ шама үшін: ^P^X⁽^a^,^b⁾⁼⁽^x⁾^dxтеңдігін қанағаттандыратын ^p^X⁽^x⁾

функциясы (ықтималды тығыздығы) табылатын жағдайлар жиі кездеседі.

Кездейсоқ шаманың мындай түрі үздіксіз кездейсоқ шама деп аталады.

Кездейсоқ шама таралу ықтималдығының кейбір жалпы қасиеттері онша көп емес сандық сипаттамалар мөлшерімен жеткілікті дәрежеде толық сипатталады. Ондай сипаттамалардың қатарына X кездейсоқ шамасының математикалық үміті (EX) және оның дисперсиясы (DX) жатады.

Дискрет кездейсоқ шама- әр мәнінің пайда болу ықтималдылығы көрсетілген дискрет шама.

Үзіліссіз кездейсоқ шама- ықтималдықтың тығыздық функциясы көрсетілген кездейсоқ шама.

Анықтама. Кездейсоқ шама деп сандық мән қабылдайтын, бірақ қандай мән табылатынын алдын ала болжап айту мүмкін болмайтын шамаларды айтады.

Кездейсоқ шамаларды латын алфавитінің бас әріпімен ^{A , B , C}^,…,^{X , Y , Z ,}немесе гректің кіші әріптерімен ^{α , β}^,…,^{ξ , η}белгілейді. Ал олардың қабылдайтын мәндерін латынның кіші әріптерімен ^a^,^b^,^c^,…,^x^,^y^,^zбелгілейді.

Кездейсоқ шама өзінің үлестірім заңымен толық анықталады. Алайда көп жағдайда кездейсоқ шаманың үлестірім заңын анықтауға мүмкіндіқ болмайды. Осындай жағдайларда кездейсоқ шамаларды белгілі бір дәрежеде сипаттайтын сипаттамалардың қажеттігі туындайды. Мұндай сипаттарға сандық сипаттамалар деп аталатын сипаттамалар жатады. Олардың ішінде маңызды орын алатын сипаттамаға математикалық үміт деп аталатын сипаттаманы жатқызуға болады.

Анықтама. Кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерінің саны ақырлы болса немесе тізбек түрінде жазылса, онда ондай кездейсоқ шамаларды дикретті кездейсоқ шамалар деп атайды.

Дискретті кездейсоқ шаманы анықтау үшін үлестірім қатары- үлестірім кестесі құрылады.

X	~_o₁	~_o₂	~_o₃	…	~_o_n
P	p₁	p₂	p₃	…	p_n

Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық үміті немесе математикалық күтімі деп оның мүмкін мәндерінің сәйкес ықтималдықтарына көюейтінділерінің қосындысын айтады:

n

M ( X )=_∑x₁p₁

i=1
Математикалық үміт кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп, оның өзінің математикалық үмітінен ауытқуын квадратының математикалық үмітін айтады:

^D⁽^X⁾⁼^M[ ^X⁻^M⁽^X]
n

2
_∑₍x −M ₍x ₎₎²p

) = ₁

i=1

1 ^∗1

Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы:
n

D ( X )=_∑P ₍x −x ₎²=S²

i i

i=1

мұндағы S- бас жиынтық және сұраптама жиынтықтың орташа квадраттық ауытқулары.

Кездейсоқ шаманың мүмкін болатын барлық мәндерінің ықтималдықтарының қосындысы 1- ге тең:

1-кесте

X_i	x₁	x₂	x₃	x₄	…	x_n
P_i	P₁	P₂	P₃	P₄	…	P_n

Кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері мен олардың ықтималдықтары арасындағы байланысты бейнелейтін кез келген қатынасты таралу заңы деп аталады. Жоғарыдағы таралу қатарын таралу заңы деп айтуға болады. Таралу қатарын графикпен көрсетуге болады, ол үшін ^{абсцисса өсіне мәндердің}^x1⁻^x2 ^{; x}2⁻^x3 ^{; … x}n−1⁻^xn ^{аралықтарын (аралықтарды}^{бір-біріне}^тең^деп^{аламыз),}^{ордината}^өсіне^{мәндердің}^{ықтималдықтарын}⁽^Pi ⁾

саламыз (1-сурет)

1- сурет. Дискретті кездейсоқ шаманың таралу графигі.

Графиктен алынған сынық қисық таралу көп бұрышы деп аталады.Қисықтың барлық ординаталарының қосындысы 1- ге тең. Дискретті кездейсоқ шаманың х мәні белгілі бір аралықта жатуының ықтималдығы сол аралықтың ординатоларының қосындысына тең болады. Кейбір жағдайларда дискретті кездейсоқ шаманың таралуын математикалық жолмен есептеп анықтайды.

Енді үздіксіз кездейсоқ шамалардың таралуын қарастырайық.

Үздіксіз шамалар олардың мүмкін болатын мәндерінің шексіз көптігімен сипатталады.

Сондықтан олардың мәндері мен ықтималдықтарының кестесін жасауға болмайды, өйткені кез келген аралықтағы мәндердің саны шексіз көп (мысалы, түзу сызықтың кез келген кесіндісіндегі геометриялық нүктелер саны шексіз көп). Аралықтардың және оларға сәйкес жиіліктің мәндері 2- кестеде берілген, бұл кесте статистикалық қатар деп аталады.

2- кесте. Статистикалық қатар

X_i	x₁, x₂	x₂, x₃	x₃, x₄	...	^xn−1 ^,^xn
P_i	P₁	P₂	P₃	...	P_n

Статистикалық қатардың графигі сатылы қисық- гистограмма деп аталады (2- сурет). Абсцисса өсіне аралықтар салынады, аралықтар тік бұрыштардың табанын, ал тік бұрыштардың ауданы аралықтың жиілігін береді.

Сөйтіп, тік бұрыштың биіктігі жиілікті аралық ұзындығына бөлгенге тең болады.

сурет. Гистограмма

^{Егер аралықтардың}^{ұзындығын}^өте^{аз етіп алса}^{(мысалы,}^xk ^{, x}k +dx^{), онда}dx азайған сайын сатылы қисық біркелік қисыққа айналады (3- сурет). Бұл қисықты үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығының тарау қисығы деп аталады.

^{Қисықтың}^{ординатасы}^{(мысалы,}^Xk ^{нүктесіне}^сәйкес^Pk ^{нүктесі)}ықтималдық тығыздығын береді. Қисық астындағы аудан шаманың кез ^келген^Xi ^{мәнінің}^{байқалу}^{ықтималдығын}^{береді,}^ол^аудан^1-^ге^тең.

сурет. Кездейсоқ үздіксіз шаманың ықтималдық тығыздығының таралу графигі.

Сөйтіп өлшемнің саны көбейген сайын және аралықтар кішірейген сайын гистограмма біркелкі қисыққа айналады. Бұл қисық кездейсоқ шаманың таралуының қисығы болып саналады.

Дисперсия кездейсоқ шаманың мүмкін мәдерінің өзінің математикалық үмітінен қашалықты алшақ жатқандығын сипаттайтын шама болып табылады.

Дисперсияны есептеудің жеңілдетілген формуласы:

D ( X )=M ⁽X²⁾−[ M ( X )]²=_∑x² p − _∑x

p

=

=

n

n

2
i 1 ⁱ¹⁽i 1

1 1 ₎

Дискреттік кездейсоқ шаманың орташа квадраттық ауыткуы мына формуламен есептелінеді:

σ ( x )=_√D ( x )

Дискреттік кездейсоқ шаманың k- ретті бастапқы моменті деп осы кездейсоқ шаманың к-шы дәрежесінің математикалық үмітін айтады:
n

υ ( X )=M ⁽X^k ⁾=_∑x^k p

k 1 1

i=1

Дискреттік кездейсоқ шаманың k- ретті орталық моменті деп, оның өзінің математикалық үмітінен ауытқуын k-шы дәрежесінің математикалық үмітін айтады:

n

μ ( X )=M [ X −M ( X )]^k=_∑₍x −M ₍x ₎₎^k∗p

k 1 1 1

i=1

Кездейсоқ шаманың математикалық үміті бірінші ретті бастапқы моментіне, ал дисперсиясы- екінші ретті орталық моментіне тең:

M ( X )=υ₁( X ) , D ( X )=μ₂(X )

Сондай-ақ екінші, үшінші және төртінші ретті орталық моменттер бастапқы моменттер арқылы төмендегідей өрнектеледі:

μ =υ −ϑ ², μ =υ −3υ υ +2 υ³ ,

2 2 1 3 3 1 2 1

μ =ν −4 ν ν +6 ν² ν −3 ν⁴

4 4 1 2 1 2 1

Анықтама.Дискретті кездейсоқ шама Х-тің математикалық күтімі деп оның барлық мүмкін мәндерін сәцкес ықтималдықтарына көбейтілген қосындысын айтамыз.

Кездейсоқ шама Х- тің математикалық күтімін МХ арқылы белгілесек,

онда
n

MX =_∑x_ip_i

i=1
деп жазамыз. Әрине,
n

_∑p_i=1

i=1
^Ал^егер^Х^{саналымды}^шексіз^х1 ^,^х2 ^,…^{мәндеріне}^сәйкес^p1 ^,^p2 ^,…

ықтималдықтарымен қабылдаса және

∞

_∑x_ip_i

i=1
қатары абсолютті жинақты болса, онда
∞ ∞

MX =_∑x_ip_i,_∑p_i=1

i=1 i=1

Математикалық күтімі болмайтын кездейсоқ шамаларда кездеседі.

∞

^{Мысалы,}∑ ^x_i^p_i^қатары^{жинақсыз болса, математикалық}^күтім

i=1

болмайды, яғни

_∑x_ip_i=∞ _∑x_ip_i=−∞

x_i> 0 x_i∈ 0

болса, онда Х- тің математикалық күтімі болмайды дейміз. Ал

_∑x_ip_i=∞ _∑x_ip_i>−∞

x_i> 0 x_i∈ 0

болса, онда Х- тің математикалық күтімі болады және ол ^mx⁼^∞деп аталады. Сондай- ақ

_∑x_ip_i∈∞ _∑x_ip_i=−∞

x_i> 0 x_i∈0

болса, онда Х- тің математикалық күтімі болады және ол ^M⁽^X⁾⁼^∞делінеді.

Біз өзіміздің қарастыруларымызды кездейсоқ шаманың математикалық күтімі бар, сәйкес қатар немесе интеграл абсолют жинақты деп ұйғарамыз.

Егер кездейсоқ шама орнына кездейсоқ функция ^Y⁼^φ⁽^X⁾алынса, онда мұның математикалық күтімі
n

M [φ ( X )]=_∑φ(x_i) p_i

i=1
ал егер де Х үздіксіз кездейсоқ шама ^⨍⁽^x⁾тығыздығымен берілсе, онда
∞

M _[φ ( X )_]=_∫φ (x)⨍(x) dx

−∞

болады.

Ескертетін бір мәселе бұл өрнектермен ^Y⁼^φ⁽^X⁾функциясының математикалық күтімін анықтау үшін бұл функцияның үлестіру заңые білу міндетті емес, ол заң айқын берілмеуі мүмкін. Бірақ аргумент Х- тің үлестіру заңы берілу қажетті және жеткілікті.

Бұл формулалар айнымалылар саны екі және одан да көп болса да, орын алады. Мысалы,

Z=φ( X ,Y )

болса, онда

M _[φ ( X ,Y )_]=_∑i _∑j φ(x , y ) p_i_j
13

^{Дискреттік}^{кездейсоқ}^{шаманың}^ең^{ықтималды}^мәнін^оның^Модасы⁽^M0 ⁾

деп атайды.

Айталық кездейсоқ шаманың n мүмкін мәндері болсын. Егер

P ₍X ∈ M _D₎=P ( X > M_D)

^{теңдігі}^{орындалса,}^онда^MD ^{кездейсоқ}^{шаманың}^{медианасы}^деп^{аталады.}

Егер ⁿ⁼²^kболса, онда ^M

= ¹₍x + x

⁾, егерде ⁿ⁼²^k⁺¹болса, онда ^M⁼^x;

D ₂k

k+1

D k+1

Сондай-ақ қарастырылып отырған кездейсоқ шаманың үлестірім заңын қалыпты үлестіріммен (бұл үлестірім заңы кейініректе қарастырылады) ^{салыстыру үшін}^Ek ^{эксцесс}^және^As ^{ассиметриясы}^{сипаттамалары}қарастырылады. Мұнда

E = ^μ⁴−3, A = ^μ³

^k_σ4 ^s_σ3
^{Ескерту:}^{қалыпты}^{үлестірім}^үшін^Ek ⁼^0,^As⁼⁰

Математикалық үміттің қасиеттері:

M (c )=c
M (cx )=cM ( x )

_3.M (x ± y )=M (x)± M ( y)

4. ^M⁽^x^y⁾⁼^M⁽^x⁾^∗^M⁽^y⁾(мұнда Х және У тәуелсіз шамалар)

жүктеу/скачать 114,74 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5

Дискретті кездейсоқ шама. Монте-Карло әдісімен модельдеу

Пуассон үлестірімі

Геометриялық үлестірім

Паскаль үлестірімі

Гипергеометриялық үлестірім

Дискретті кездейсоқ шамалар