Дискретті кездейсоқ шама. Монте-Карло әдісімен модельдеу

жүктеу/скачать 114,74 Kb.

бет	5/5
Дата	09.01.2022
өлшемі	114,74 Kb.
	#110439

1 2 3 4 5

Байланысты:
docsity-diskretti-kezdeyso-shama-monte-karlo-disimen-modeldeu-1

Дисперсияның қасиеттері:

1. ^D⁽^x⁾^≥⁰

_2.D (c )=0

3. D ⁽cx ⁾=c² D (x)

_4.D ( x± y )=D ( x )+ D ( y )

Мұндағы х және у тәуелсіз кездейсоқ шамалар.

Жоғарыда келтірілген үлестірім заңдарының математикалық үміттері мен дисперсияларын келтірелік.

Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі

Кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестіру заңын біле отыры, оның кейбір сандық сипаттамаларын есептеуге болады. Сол сипаттамалардың бірі математикалық күтімі болып табылады.
14

Анықтама. Дискретті кездейсоқ шамалардың мүмкін болатын мәндерінің сәйкес ықтималдықтарына көбейтінділерінің қосындысын математикалық күтім деп атаймыз.

ξ	x₁	x₂	…	x_n
p	p₁	p₂	…	p_n

n

M (ξ )=_∑x_ip_i,_∑P_i=1, болғандықтан

I =0
n

^∑^xi ^pi ⁿ

n

i

i
x´ =a^´=M (ξ )=ⁱ⁼¹ =_∑x p

_∑p_i

i=1

i=1
Сондықтан математикалық күтім кездейсоқ шаманың орта мәні деп аталады.

Анықтама. ⁽^Ω,^Φ,^Ρ⁾– берілген дискретті кеңістіктегі ^ξ⁼^ξ⁽^ω⁾кездейсоқ

∞

^ш^а^м^аны^ң^м^ате^м^атика^л^ы^қ^к^ү^т^імі^де^п^M⁽^ξ⁾⁼∑ ^x_i^p_i^саны^н^ж^ән^е^о^с^ы^қата^р^ды^ң

i=1

абсолюттік жинакты болуын айтады, яғни

∞

_∑_∣x_i_∣p_i∈∞

i=1
Х дискретті кездейсоқ шамасы берілсін, яғни ықтималдық мәні

^x_i⁽ⁱ⁼^1,^2,^…^,^N⁾, Х бөлу заңын біле тұра:

X	x₁	x₂	…	x_n
p	p₁	p₂	…	p_n

R арқылы үздіксіз кездейсоқ шаманы белгілейміз.^r_j⁽^j⁼^1,^2,^…^.⁾- оның мүмкін мәндері, яғни кездейсоқ сандар.

^¿өсіне ⁰^≤^R^∈¹интервалды нүктемен белгілейміз.

∆₁= p₁−0= p₁_,

∆₂=₍p₁+ p₂₎− p₁=p₂_,

…._,

∆_n=1−₍p₁+ p₂+ …+ p_n₋₁₎= p_n_.

І индекстері бар ішінара аралықтың ұзындығы сол индекспен ықтималдыққа тең:

∆_l= p_l

^{Теорема: Егер әрбір кездейсоқ сан}^rj ⁽⁰^≤rj^∈¹⁾^болса,^∆l ^{интервалына}түскен х мәніне сәйкес қойылады, онда ойланатын шама берілген бөлу заңы болады:

X	x₁	x₂	…	x_n
p	p₁	p₂	…	p_n

^{Дәлелдеу:}^{Кездейсоқ шама түскенде, ойнатылатын шама барлық}^∆l интервалдарының ықтимал мәнін қабылдайды. Онда ойнатылатын шама Х сияқты мүмкін мәндерге ие болады, ал ола кездейсоқ шаманың интервал А- ^{ға түсу ықтималдығы оның}^{ұзындығына тең. Х күшіне орай}^∆l⁼^pl^{. Осылайша,}^{интервалға түсу ықтималдығы Р. Келесі түрде тең ойнатылатын шама}^xl ^{мүмкін мәнді қабылдайтын ықтималдығы, сондай- ақ}^pl^{. Сонымен,}ойнатылатын кездейсоқ шама бөлу заңына ие.

Ереже:Дискретті кездейсоқ шаманы сынау үшін, берілген заңмен қарастыру

X	x₁	x₂	…	x_n
p	p₁	p₂	…	p_n

Интервалды бөлу⁽^0,¹⁾^𝗏^¿өсі n жартылай аралық:

∆₁−₍0 ; p₁₎, ∆₂−₍p₁; p₁+ p₂₎,…, ∆_n−₍p₁+ p₂+…+ p_n₋₁; 1₎

^{Таңдау(мысалы,}^{таблицадан}^кез-^келген^сан),^{кездейсоқ}^сан^rj^.

^Егер^rj ^{ішінара}^{интервалға}^түссе,^{дискретті}^{кездейсоқ}^шама^хр-^ныңмүмкін мәнін қабылдайды.

Дискрет кездейсоқ шамалардың мысалдары

Индикатор. ^A^∈^Fоқиғасы үшін

A _{
_I₍_ω₎₌1, ω ∈ A

0, ω ∉ A

функциясын анықтайық.

Онда кез келген ^B^∈^β⁽^R⁾борельдік жиыны үшін

{
∅, егер {0} ∉ B , {1} ∉ B ,

A

A
I⁻¹( ω)=_{ω : I

₍_ω₎_∈_B_}₌A ,егер ^{0^}∉ B , ^{1 ^}∈ B ,

A^´, егер ^{0^}∈ B , ^{1 ^}∉ B

Ω, егер {0} ∈ B , {1 }∈ B

A
^Демек,^A^∈^F^{үшін әрқашан}^I⁻¹⁽^ω⁾^∈^F^{, яғни}^IA ⁽^ω⁾^{-кездейсоқ шама. Бұл}кездейсоқ шама А оқиғасының индикаторы деп аталады.

Индикатор үшін

P _{ω : I _A(ω )=1_}=P ( A )

^P{^ω^:^I^A⁽^ω⁾⁼⁰}⁼^P⁽^A^´⁾⁼¹⁻^P⁽^A⁾

болатыны айқын.

^{Әрине, егер}^A^∉^F^болса,^онда^IA ⁽^ω⁾^{кездейсоқ}^шама^{болмайды}

Бернуллилік кездейсоқ шама деп екі ғана мән- нөл және бір мәндерін сәйкес ¹⁻^pжәне ^p–ға тең ықтималдықпен қабылдайтын кездейсоқ шаманы айтамыз:

P {ξ=1}= p , P {ξ=0}=1− p , 0∈ p∈1.

Биномдық кездейсоқ шама. Параметрлері n және p болатын биномдық кездейсоқ шама деп 0,1,2,...,n (барлығы n+1) мәндерін сәйкес

k k n−k

n
P {ξ=k }=P_n(k )=C p (1−p ) , k=0, 1, …,n,

Ықтималдықтарымен қабылдайтын кездейсоқ шаманы айтамыз, мұндағы параметрлер ⁰^∈^p^∈^1,ⁿ⁻^¿бүтін оң сан.

^ξ-параметрлері (n, p) болатын биномдық кездейсоқ шама дегенді бұдан былай қарай қысқаша ^ξ^Bi⁽ⁿ^,^p⁾түрінде жазатыг боламыз.

Монте Карло әдісі
1. Монте- Карло әдісімен модельдеу

Монте- Карло әдісі- кездейсоқ шамаларды модельдеу арқылы математикалық есептерді шешудің сандық әдісі.

Монте- Карло әдісінің туған күні 1949 жыл деп есептеледі.Американдық ғалымдар, математиктер Н. Метрополиспен С. Улам «Монте- Карло әдісі» мақаласын жариялап, бұл әдісті жүйелі түрде баяндаған.Монте- Карло әдісі туралы алғашқы мақалалар Ресейде 1955-1956 жылдары жарияланды. Монте-

Карло атауы Монако Княздігіндегі Монте- Карло қаласынан шыққан, өзінің ойын үйімен танымал.Бұл әдіс негізінен кездейсоқ сандарды алуға арналған қарапайым құрылғылардың бірі.

Әдістің теориялық негізі бұрыннан белгілі. Сонымен қатар, статистиканың кейбір міндеттері кейде кездейсоқ іріктемелердің көмегімен, яғни Монте- Карло әдісімен есептейді. Алайда, электрондық есептеу машиналары пайда болғанға дейін бұл әдіс кең қолданысты таба алмады, өйткені кездейсоқ шамаларды қолмен модельдеу- өте көп еңбекті қажет ететін жұмыс. Осылайша, Монте- Карло әдісінің пайда болуы ЭЕМ- нің пайда болуына байланысты ғана мүмкін болды.

Бұл әдіс ғылым мен техниканың көптеген салаларына (статистикалық физика, жаппай қызмет көрсету теориясы, ойын теориясы және т. б.) кеңінен енгізілуіне әкелді. Монте- Карло әдісі интегралды есептеу үшін әсіресе көп өлшемді, жоғары ретті алгебралық теңдеулер жүйесін шешу үшін, әртүрлі күрделі жүйелерді (автоматты басқару, экономикалық, биологиялық және т. б.) табу қажет. Ол үшін, математикалық күту а кездейсоқ шама х- ті таңдайды:

M ( X )=a

Іс жүзіндеде солай түседі: нәтижесінде Х мүмкін болатын арифметикалық мәнін есептеп шығарады

´x=(_∑x_i)/ n

Монте- Карло (ММК) әдісі дегеніміз- сандық әдістерді зерттейтін процестер. Әдістің мәні: процесс математикалық модельді пайдалана отырып сипатталады, кездейсоқ шама генераторы, модель негізінде есептелініп алынған деректер ықтималдық қарастырылатын процесті сипаттайды.

Мысалы, Монте- Карло әдісін білу үшін орта есеппен екі қашықтық кездейсоқ нүктелі шеңберде, сіз алу керек кездейсоқ жұптардың көп санының кординаттары берілген шеңбердің шекарасындағы нүктелер үшін, әрбір жұп қашықтықты есептеп, содан кейін олардың арифметикалық ортасын табу.

Бұл әдіс физика, химия, математика, экономика т. б. пәндерде қолданылады.

Мысалы, интегралдың кез- келген функциясын алайық. Геометриялық сипаттамамен интегралдап және функцияның графигінде қолданамыз. Бұл мысалды анықтау үшін, әдеттегі кездейсоқ шаманы пайдаланып, әдістерін интеграциялау: сынған кесінді кесте бойынша алаңды есептеу, олардың әрқайсысындағы функцияларды қосу.
18

Тағы да мысал қарастырайық. Бұл мысалда есептеу қажет. Анықталған интеграл

b

_∫f ( x )dx

a
Кездейсоқ шаманы және оны біркелкі қарастырып, интегралдау бөлігінде бөлінген а,b] кесіндісі . Сонда ^f⁽^u⁾кездейсоқ шамада болады және оның математикалық күтуі төмендегідей көрінеді.
b

Ef (u )=_∫f (x) φ(x )dx

a

b a
мұндағы, ^f⁽^x⁾- кездейсоқ шамалар және¹. Осылайша, іздеген

−

интеграл көрінеді

b

_∫f ( x )dx=(b−a) Ef ( u),

a
Бірақ кездейсоқ математикалық күту ^f⁽^u⁾шамаларын осы кездейсоқ шаманы және таңдау орташасын есептей отырып қарастырамыз.

^{Сонымен,}^N^{нүктесін}^{аламыз,біркелкі}^[^a^,^b^]^әрбір^xi^нүкте^үшін^f⁽^x^¿¿ⁱ⁾^¿

есептейміз. Содан кейін ортасын табамыз:

₁N

N
_∑f (u_i)

i=1
Нәтижесінде төмендегі интеграл шешімін аламыз:
^b b−a ^N

_∫f ( x )dx ≈

a

_∑f (u_i)

N
i=1

^Nнүктелерінің бағалау дәлдігі тек санға байланысты болып келеді. Бұл әдістің геометриялық түсіндіруіде бар. Ол жоғарыда көрсетілген детерминистік әдіске өте ұқсас болып келеді. Бұлардың айырмашылығы, біркелкі бөлінудің орнына шағын интегралдау аймақты аралықтары мен алаңдары косылып, кездейсоқ шама интегралдау аймағында анықталады.

N
Олардың әрқайсысы бірдей бағанды болып келеді және енін ^b⁻^aанықтап

көлемін есептейді.

Монте- Карло әдісінің геометриялық алгоритмі

100

5 10 ¹⁵

20 25

сурет.Монте- Карло әдісімен санды интегралдау функциясы

Кесте астындағы стохастикалық агоритмді алаңды анықтау үшін , келесі мүмкіндіктерді пайдалануға болады:

функцияны тіктөртбұрышпен шектейміз(n- көптеген жағдайда

өлшеуіш параллелопипед, тіктөртбұрыш графигінің функциясы кем дегенде бір нүктені қамтиды);

тіктөртбұрышқа (параллелопипед) кейбір нүктелердің саны

олардың координаталарында анықталатын кездейсоқ шама;

функция графигіне түсетін (к дана),нүктелердің санын анықтаймыз;
функциясымен шектелген облыс алаңы координаттар осьтерімен,

S өрнегімен беріледі

S=S

K

par _N

Монте- Карло әдісінің интегралданған өлшемдерінің аз саны үшін интеграциялау функциясы әлдеқайда төмен болып келеді. Дегенмен, кейбір жағдайларда, функция анық болмаса, берілген аймақты анықтауы қажет күрделі теңсіздігі стохастикалық әдіс арқылы шешу неғұрлым қолайлы болып табылады.

Маңыздылығы бойынша іріктеуді пайдалану.

Кездейсоқ нүктелердегі сол санды,есептеу дәлдігін анықтауға болатын облысқа жақындатып,функцияның өзіне шектеу қоямыз. Бұл үшін біз кездейсоқ шамаларды пайдалана аламыз. Нысаны барынша жоғары, интегралданған функцияның түріне жақындатамыз.Бұл Монте- Карло әдісі арқылы жақсарту әдістерінің бірі негізделген: маңыздылығы бойынша таңдау.

Ықтималдық классикалық анықтамасы. Қандай да бір эксперимент жүргізу кезінде эксперименттің барлық нәтижелері тең мүмкіндіктерге ие, сондықтан олар тең деп аталады. Көбінесе тепе- теңдік оған қатысатын обьектілердің тәжірибесі мен симметриясын жүргізу шарттарынан туындайды. Классикалық ықтималдық формуласымен немесе Лаплас формуласының атауын алған кез келген кездейсоқ оқиғаның ықтималдығын есептеудің қарапайым ережесін тұжырымдауға болады.

N тепе- теңдік нәтижелерінің бірі аяқталуы мүмкін кездейсоқ эксперимент қарастырайық. Сонда бұл оқығаның ықтималдығы мынадай формула бойынша есептелуі мүмкін:

P ( A )= ^N¹

N

Дискретті кездейсоқ шама және оның сипаттамалары. Кездейсоқ шама дискретті деп аталады, егер ол дискретті мәндерді (кейбір соңғы немесе шексіз сандық тізбектің мәндері) қабылдай алатын болса.

Дискретті кездейсоқ шама бөлу кестесімен анықталады:

( )
_ε₌x₁x₂x_n

p₁p₂p_n

^{Бұндағы,}^x1 ^x2 ^xn^-...,^p1 ^p2 ^pn^-....

Дискретті кездейсоқ шама математикалық күту деп аталады:

n

M_ε=_∑x_ip_i

i=1
Барлық шамалардың ықималдығы бірдей болғанда х математикалық күту барлық х арифметикалық ортасы болады.Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп:

ε ε
D =M _[₍ε −M ₎²_]

Бұл формуланы түрлендіруге болады:

D =M ⁽ε²⁾−M²

ε ε

Дикретті кездейсоқ шаманың орташа квадраттық ауытқуы- дисперсияның квадраттық түбірі.

Үздіксіз кездейсоқ шама және оның сипаттамалры .Кездейсоқ шама, егер ол кейбір аралықтан (a,b] кесіндісі ) кез келген мәнді қабылдайтын болса ол үздіксіз деп аталады. Үздіксіз кездейсоқ шама интервал тапсырмасымен және ықтималдықтар тығыздығымен (таралу тығыздығы) р(х) деп
21

анықталады.Егер (А,b] кесіндісі ) интервал (a,В) болса, онда (А,b] кесіндісі ) болу ықтималдығы тең
b

_∫p ( x ) dx=P [ a∈ε ∈b ]

a
Бұл үлестіру тығыздығының физикалық мәні. Таралу тығыздығының қасиеттері:

_1.p ( x )0 ;
b

^2.∫ ^p⁽^x⁾^d^x⁼¹^,^яғн^и⁽^a^{,b] кесіндісі )}^екен^і^анық^.

a
Үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық күтуі аталады:
b

M_ε=_∫xp(x )dx

a
Сонымен қатар кездейсоқ функцияны математикалық күту үшін
b

M_f₍_ε₎=_∫f ( x) p ( x)dx формуласы бар, мұнда p(x ) - тығыздық, f (x)- еркін

a

үздіксіз функция. Үздіксіз кездейсоқ шаманың дисперсия формуласы дискретті шамаларға ұқсас болып келеді.

Бірқалыпты бөлінген кездейсоқ шама деп (0,1) анықталған және ^p⁽^x⁾⁼¹

тығыздығы бар кездейсоқ шама аталады. Шын мәнінде (0,1) бар ⁽^A^,^b⁾

b

^{интервалына}^{түсудің}^{ықтималдығы}^тең:∫¹^dx⁼^b⁻^a⁼⁽^a^,^b⁾^кез^келген^{интервал}

a

үшін бірдей ⁽^A^,^b⁾.^M⁼¹^,^a^D⁼¹

деп есептеуге болады.

^γ 2 ^γ 12

Монте- Карло әдісінің жалпы схемасы.

Қалыпты (Гаусс) кездейсоқ шама-нақты сандардың барлық жиынында анықталған және тығыздығы тең кездейсоқ шама:

−( ξ−a )²

p (ξ )=¹e

√²^π^σ

²^σ2 (3)

мұндағы ^a⁼^M^ξ^,^σ⁼^√^D

Кез келген а және ^σкезінде әділ теңдік деп есептеуге болады.

Үш сигма ережесі: сынау кезінде 99,7% ықтималдығы бар алынатын кездейсоқ шама осы кездейсоқ шаманың математикалық күтуінен үш орташа квадраттық ауытқудан артық болмайды.
22

Ықтималдықтар теориясының орталық шеткі теоремасы: кездейсоқ шамалардың үлкен саны (немесе шексіздікке ұмтылу) кезінде олардың сомасын қалыпты деп есептеуге болады. Немесе формуламен
N

^,^мұнда^ρ⁼∑ ^ε_i

i=1
Әдістің жалпы сұлбасы. Біз m шамасының мәнін табу керек болсын.

ε
^M_ε⁼^mболатын ^εкездейсоқ шамасын алайық. Егер ^D⁼^b².

^{Қарастырайық,}ⁿ^{кездейсоқ}^шама^ε1 ^,^ε2 ^,…,^εn^.^{Олардың}^{таралуының}тығыздығына сәйкес келеді. (4
n

⁾^тарату^{тығыздығы}∑ ^ε_i^{қалыпты}^{деп санауға}^{болады.}

i=1

Z Z Z z z z
M =M =…=M =m , D =D =…=D =b²

1 2 n 1 2 n

n n n

i=1

i=1

i=1
ρ_n=_∑ε_i_б_ол_сын_._С_он_д_аM _ρ_n=M ₍_∑ε_i₎=nm ; D_ρ_n=D ₍_∑ε_i₎=nb² ;

Қос теңсіздік модуль арқылы бір жүйеге ауыстырамыз, ал сома белгісі арқылы елестетеміз: Өте үлкен n кезінде модульдік мәні ^ρⁿматематикалық

n

күтуден мүлдем бөлек болады. Сондықтан ол

₁n

n
m ≈ _∑ε_i

i=1
Белгілі бір тығыздық бойынша үздіксіз кездейсоқ шаманы ажырату. Есептерді шешу кезінде барлық кездейсоқ шамалардың тығыздығы бірдей болған кезде ыңғайлы. Біз ^p⁽^x⁾үлестіру тығыздығымен ⁽^A^,^b⁾интервалында үздіксіз кездейсоқ шаманың мәнін алу (ойнату) қажет болсын. Бұл ^εтеңдеуіне қатысты келесі шешімді алуға болады:
z

_∫p( x ) dx=γ (5), мұнда еркін кездейсоқ шама.

a
Мұны дәлелдейміз.
x

y=_∫p( x) dx функциясын қарастырайық. Тығыздық қасиеттерінен y (a)=0,

a

ал интеграл мәні ^y⁽^x⁾⁽⁰^,¹⁾-ге өседі. Осыдан кез келген түзу ^y⁼^γ⁽^γ^∈⁽⁰^;¹⁾⁾графигін тек бір рет кесіп өтеді. Бұл қиылысу нүктесінің абсциссасы. Демек біз тек 1 шешім бар екенін дәлелдедік.

Монте- Карло әдісімен тікелей модельдеу

Монте- Карло әдісімен модельдеу қандайда бір физикалық процесс, мінез- құлықты модельдеу жекеленген элементар бөліктерінің жүйесі. Шын мәнінде бұл тікелей модельдеу бірінші қағидаттарды шешуге міндетті.

Алайда, әдетте есептеуді жеделдету үшін қолдануға рұқсат етіледі. Мысал ретінде көптеген есептерді қарастыруға болады. Әртүрлі процестерді молекулалық әдіспен қарастыруға болады, бір жағынан жүйе сипаталады. Оның қарапайым құрамдас бөліктерінің мінез- құлқы арқылы басқа жағынан пайдаланылады.

Монте- Карло әдісімен тікелей модельдеу мысалдары:

қатты денелердің сәулеленуін модельдеу, иондармен қақтығыстар.
зарядталған тікелей Монте- Карло моделі.
тікелей кинетикалық модельдер қатарына жататын Монте- Карло әдісі (атап айтқанда,молекулалық табан эпитаксиі)

Монте- Карло кванттық әдісі.

Монте- Карло кванттық әдісі күрделі молекулаларды кеңінен зерттеу үшін қолданылады және бұл атау бірнеше түрлі әдістерді біріктіреді.

Олардың біріншісі- Монте- Калоның вариациялық әдісі. Мәні сандық интегралдау болып табылады. Шредингер теңдеуін шешу арқылы пайда болатын интеграция. Шешім үшін 1000 электрондар қатынасы міндетті, 3000 өлшемді интегралдарды алу қажет, және мұндай міндеттерді шешу кезінде Монте- Карло әдісі үлкен артықшылығы бар, басқалармен салыстырғанда өнімділік әдістермен интегралдау. Басқа Монте- Карло әдісі – бұл Монте- Карлоның диффузиялық әдісі.

Монте- Карло әдісімен фигураның ауданын есептеу.Осьтермен және ^y⁼^100,^x⁼¹⁰⁰сызықтармен шектелген квадратта ⁰^xyкоординаттар жүйесінің бірінші ширегінде орналастырамыз. Бұл шаршы алаңы ^S-ке тең болсын.

Кездейсоқ N санын ойнатамыз. Жұптағы бірінші сан абсцисса, екіншісі

2
ордината болады. ⁿ

координат нуктесін алдық. Бұл нүктелерді координаттар

жүйесіне енгіземіз. Фигурага түскен нүктелердің саны n-ге тең болсын.

Сонда а фигураның ауданы тең

_n' S_A= _n

Бұл формуланы тексеру үшін мен трапеция көлемін тандадым. Көлемі a=8, b] кесіндісі =4, h=6. Есептеулер 6 рет жүргізілді, бірақ әр жолы N өсіп отырды.Есептеу нәтижелері:

n^' 4

S= _n= ₁₆≈ 0,25, n=16
n^' 10

S= _n= ₃₂≈ 0,3125 , n=32
n^' 14

S= _n= ₄₈≈ 0,2916 , n=48
n^' 31

S= _n= ₈₈≈ 0,3523 , n=88

Көлемнің жалпы шешімі: ^S⁼⁶⁺⁽⁴⁺⁸⁾⁼³⁶

Жоғарыда жазылғаннан көруге болады:

N көбірек болса, нәтижеде дәлірек болады;
Есептеу қателігі өте баяу жойылады

√
Монте- Карло әдісімен интегралды есептеу. ⁽^A^,^b⁾интервалда берілген ^y⁽^x⁾функциясы берілсін. Интеграл мәнін есептеу қажет. ⁽^{A , b}⁾анықталған таралу тығыздығы бар кездейсоқ мөлшерін алыңыз. Сондай- ақ кездейсоқ шаманы алыңыз. n кездейсоқ шамасын қарастырайық. Үлкен N кезінде

ықтималдықтар теориясының орталық шеткі теоремасына сәйкес,³^D^ε

қалыпты деп санауға болады.

Интегралды шашамен қарастырайық (оның шынайы мәні 1- ге тең)
π

2

I =_∫sinxdx

0
Есептеуді екі рет жүргіземіз. Бірінші рет біркелкі бөлінген ^εаударымды

аламыз. ^εқарастырамыз: ^ε⁼⁰⁺^γ₍^π⁻⁰₎⁼^π^γ. Формула баска түрге айналады:

2 2

₁ⁿsin ₍ε_i₎

I ≈ _∑

n
i=1

₂, барлық тығыздық бірдей болғандықтан оны сомадан

π

2 n
шығарамыз:^I^≈^π

p_ε( x )

Есептеу бағдарламасын жазамыз: 1. ^0,989⁽ⁿ⁼¹⁰⁰⁾;

2. ^0,9912⁽ⁿ⁼¹⁰⁰⁰⁾;

3. 0.9 (n=3000).

_Е_нд_іp ( x )= ^σ^x

тығыздығын аламыз. График салатын болсақ,

ε _π₂

тығыздықтың графигі синусоидқа қатты жақын немесе басқаша айтқанда,

n

^p_ε⁽^x⁾пропорционал ∑ ^sin⁽^x⁾болып келеді. Негізінде, бұл жағдайда алдыңғы

i=1

есептеуден дәл болуы тиіс.

Есептеу бағдарламасын жазамыз:

_1.1,0043 (n=100 );

_2.1,0012 (n=1000) ;

3. 0,997 (n=3000)

Көрініп тұрғандай, екінші әдіс дәл нәтиже көрсетті, бірақ мұндай n бұл өте маңызды емес. Енді интегралдың жақынырақ шешімін табайық
π

2

_I₌_∫^x_dx.Бұл интегралды алдыңғы интеграл жолымен талдау қиын.

₀ sinx
Біркелкі ^εтарату тығыздығын аламыз. ^εқарастырамыз:

0

2
ε =0+ γ ₍^π−0₎= ^πγ_.

Есептеу бағдарламасын жазамыз:

_1.1.804 (n=100) ;

_2.1.7882 (n=1000) ;

_3.1 ,7841 (n=10000).

Қорытатын болсақ, Монте- Карло әдісі бүгінгі таңда жиі қолданылады (кейде өте тиімсіз). Оны интегралды және интегралды есептеу кезінде (бұл жұмыста көрсетілген), кредиттік тәуекелді бағалау, жаппай қызмет көрсету жүйелеріндегі есептеулер, бұйымдардың (оның ішінде элементтердің көп санынан тұратын бұйымдардың) беріктігін бағалау кезінде қолданылады.

Әдістің кейбір артықшылықтары бар:

Ол көп өлшемді жайғдайда да орындалатын (және салыстырмалы қарапайым) шешімге әкеледі. Оларды көп өлшемді интегралмен шешу ыңғайлы;
Оны шағын шектеулерде немесе алдын ала талдаусыз қолдану оңай. Сонымен қатар, оның белгілі бір кемшіліктері бар:

Қате шекарасы дәл анықталмайды, бірақ кездейсоқ жерлері бар (соңғы есепті шешу кезінді және әртүрлі n алынуы)
Статистикалық қателік өте баяу жойылады (бұл фигура ауданын есептеу есебінде көрсетілген).

Осыдан қорытындылай келе, аз дәлдікті қажет ететін есептерде қолданылады (5%- ға дейін ). Бұл жұмыста фигураның ауданын табу және интегралды есептеу кезінде қолданылатын әдіс көрсетілді. Алайда бұл жұмыс аяқталған жоқ және болашақта басқа міндеттерді шешу үшін әдісті қолдана отырып, жұмысты жалғастыру жоспарланып отыр.

Қорытынды

Ықтималдық- статистикалық тәсілдермен танысу алуан құбылыстар талдауына деген жалпы көзқарастарын өзгертеді. Көптеген сұрақтар бірмәнді «дұрыс» жауаптарға ие болмайтынын, ал бір және осы статистикалық мәліметтерден олардың әрқайсысы біршама ықтималдықпен дұрыс болатын әр түрлі қорытындылар жасауға болатынын ашады.

Математикалық статистика элементтерін оқып- үйрену кездейсоқ деректер тобындағы заңдылықтар туралы саналы түсініктер әлеміне қөзқарастар жүйесін байытады, қазіргі ғылыми әлемтануды, ерекше философиялық көзқарастарды қалыптастыруға, қазіргі ғылымның көптеген тараулары үшін сипатты өзгеше әдіснаманы меңгеруіне көмектеседі.

Айтылғандардан оқушылардың статистикалық ойлауын қалыптастыру міндеттерін шешу математикаға оқытудың жалпы мақсаттарына жету мүмкіндіктерін күшейтетінін көрсетеді. «Жалпы білім беретін мектепте математиканың оқыту мақсаты бүтіндей қоғамды дамытудағы оның рөлі мен әрбір жеке адамның жеке тұлғасын қалыптастырумен анықталады».

Ықтималдық- сатистикалық заңдардың жан-жақтылығы, әлемнің ғылыми бейнесін сипаттау базисі, қоғамнық, әлеуметтік, экономикалық және жаратылыс ғылымдық үдерістері мен құбылыстарын модельдеу құралы ретінде түсініктер және кездейсоқ оқиғаның ықтималдығын таба білуін қалыптастыру.

Курстық жұмыстың басты мақсаты –дискреттік кездейсоқ шама және оны Монте- Карло әдісімен модельдеу тақырыбын ашып, мағлұмат беру. Әдістің модельдеу түрлерін, соған қатысты теориялық мәліметтер мен практикалық түрде шешу әдістері мен тәсілдерін зерттеу.

Курстық жұмыс кіріспеден, екі тараудан және қорытындыдан тұрады.

Бірінші бөлімде дискреттік кездейсоқ шама және олардың үлестірімділік заңы туралы ақпарат берілді.

Екінші бөлімде Монте- Карло әдісі туралы, геометриялық алгоритмі және әдіс арқылы тікелей модельдеу көрсетілген.

Кіріспеде курстық жұмыстың мақсаты, өзектілігі, зерттеу әдісі, зерттеу нысаны, болжамы келтірілді.

Осы тақырыпты зерттей отырып, Монте- Карло әдісінің әр түрлі тәсілдерін үйрендім, жоғары оқу орнында кездесетін қиындығы жоғары есептерді шығаруда бағыт-бағдар алдым. Монте- Карло әдіс-тәсілдерінінің тиімділігін көрсеттім. Жеке тұлғалық шығармашылық, ізденімпаздылық қабілетін дамыттым.

Бұл таңдаған тақырыбым менің бойымда:

-тақырыптағы негізгі түсінік пен заңдылықты меңгердім;

-таңдап алынған тақырыпқа өз бетімен зерттеу жүргіздім;

-тақырып бойынша нақты сұрақтарға жауап алып, тереңірек ұғындым;

-білімімді дамыта алдым.

Әлемдік деңгейде мыңдаған заңдылақтар шығарған тәуелсіз елдің дарынды жастарының бірі ретінде менің де математика саласына қосар үлесім аз емес деп ойлаймын.

Курстық жумысты бір данышпанның «Рухтың ең жоғарғы көрінісі-ақыл- ой, ақыл-ойдың жоғарғы көрінісі - математика» деген сөзімен қорытындылаймын.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

Қазешев А.Қ. - Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика ,Алматы 2011 ж
Майкл Акритас - Инженерлер мен ғалымдарға арналған ықтималдық теориясы мен статистика, Алматы 2016 ж
Шыныбеков Ә.Н. - Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері ,Алматы Экономика 2008 ж
В.Е.Гмурман – Теория вероятнойтей и математическая статистика, Москва «Высшая математика» 2003 г.
И.М.Соболь - «Метод Монте- Карло» / М. Наука. 1968 г.
Л.П.Шибасов, З.Ф.Шибасова - «За страницами учебника математики» Математический анализ, теория вероятностей. / М.Просвщение. 2008 г.
Ю.В.Прохоров - Математика. Большой энциклопедический словарь М.: Большая Российская энциклопедия, 1971 г.
Ермаков С.М. - Метод Монте- Карло и смежные вопросы. / М.: Наука, 1971 г.
Е.А.Бунимович, В.А.Булычев - «Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы» 2006 г.
Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б., -Математическое программирование. М:Высшая школа, 1980 г.
Акулич И.Л. – Математическое программирование в примерах в задачах (Учеб. Пособие для вузов). М:Высшая школа, 1980 г
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для учащихся вузов. Лейпциг: Тойбнер. М:Наука. 1981 г.
Рейнфельд Н., Фогель У. Математическое программирование. М.: Изд.

Иностр. Лит., 1960 г.

ru.wikipedia.org\wiki\Метод_Монте_Карло
http://www.b] кесіндісі estreferat.ru/referat-95606.html
http://stud.kz/referat/show/57052
https://multiurok.ru/files/html

Document shared on www.docsity.com Downloaded by: Nutri55 (nutri01021988@mail.ru)

жүктеу/скачать 114,74 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: