Г. Е. Берікханова Элементарлық математика 5B 01 11 00 «Информатика» және 5B 01 10 00 «Физика» мамандығы бойынша оқитын студенттерге оқулық
Жай санның анықтамасы және қасиеттері
жүктеу/скачать 67,2 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- С андарды жай көбейткіштерге жіктеу 3. Жай көбейткіштерге жіктеу әдісі
- Анықтама: Өзінен және бірден бөтен, қандай да болсын бір басқа бөлгіштері бар натурал сандарды құрама сандар деп атайды.
- Евклидтің жай сандар жиынының шектеусіздігі ж ө ніндегі теоремасы . Теорема: Жай сандар жиыны шектеусіз
Жай санның анықтамасы және қасиеттері 2  . Сандарды жай көбейткіштерге жіктеу 3. Жай көбейткіштерге жіктеу әдісі 1. Анықтама: Жай сан деп өзінен және бірден басқа ешбір бөлгіші болмайтын натурал санды атайды. Анықтама: Өзінен және бірден бөтен, қандай да болсын бір басқа бөлгіштері бар натурал сандарды құрама сандар деп атайды. Ескерту: Бір жай санға да, құрама санға да жатпайды. Бір – жалғыз ғана бөлгіші бар натурал сан болып табылады. Сөйтіп, натурал сандардың үш категориясын (дәрежесін) бір-бірінен айыра білген жөн: 1-категорияға тек бір ғана жатады; 2-категорияға барлық жай сандар жатады; 3-категорияға құрама сандар жатады. Мысалдар. 1) 2, 3, 5, 7, 23 т.с.с. – жай сандар; 2) 9, 18, 64, 125 т.с.с. – құрама сандар. Евклидтің жай сандар жиынының шектеусіздігі жөніндегі теоремасы. Теорема: Жай сандар жиыны шектеусіз Берілгені: 2, 3, 5, 7, 11, … , К – жай сандар. Дәлелдейтініміз: жай сан К-дан да артық жай сан болады. 2-ден басталып, К-мен аяқталатын барлық жай сандардың көбейтіндісін жазсақ, онда  .
Көбейтінді P-ге бірді қоссақ, Р + 1 саны шығады. Егер бұл шыққан Р + 1 саны жай сан болса, онда теореманың дәлелденгені, өйткені Р + 1>К . Ал егер Р + 1 құрама сан болса, онда анықтама бойынша оның өзінен және бірден бөтен, тағы да басқа бір жай бөлгіші болуға тиіс. Бірақ бұл бөлгіш теореманың шартында алынып отырған 2, 3, 5, 7, 11, 13, … , К қатарындағы жай сандардың ешбірі де емес, өйткені Р + 1 саны екі қосылғыштың қосындысы, ал ол қосылғыштардың бірінші  көбейтіндісі 2, 3, 5, 7, 11, 13, … , К жай сандар қатарындағы кез келген санға бөлінеді де, екінші қосылғыш – бір – ол сандардың ешқайсысына бөлінбейді, сондықтан Р + 1 қосындысы да бұл беріліп отырған жай бөлгіштердің ешқайсысына бөлінбейді.
Сөйтіп, Р + 1 санының К-дан артық қандай да бір К1 жай бөлгіші болуға тиіс. Осылайша қарастыра келіп, К1 саны да ақырғы жай сан болып табылмайтындығын дәлелдеуімізге болар еді. Демек, жай сандар қатары шектеусіз болады. Бұл қарастырылған теореманы тұңғыш рет гректің ұлы математигі Евклид дәлелдеген (оның “Бастамалар” деген еңбегінің 9-кітабындағы 20-теорема). Жай сандарға математиктер ерте заманнан бері назар аударған. Евклид жай сандардың шектеусіз көп екендігін ғана дәлелдеді, бірақ жай сандарды құрудың формуласын берген жоқ. 20 ғасыр өткеннен кейін француздың атақты математигі Ферма  .
формуласын тауып n санына кез келген бүтін мән беріп, әрқашан да жай сан шығарып алуға болады деп ойлады. Ферманың өзі бұл формула бойынша n =0, 1; 2, 3 болғанда жай сан шығатындығын тапты.
20 =1; 21 = 2; 22 = 4; 23= 8. Шынында да, көрсеткіш 2n санының осы мәндерінде мынадай жай сандар шығады; 3; 5; 17; 257. Осыған (және сандардың қасиеттері жөніндегі кейбір пікірлерге) сүйеніп, Ферма формуласы n –нің кез келген мәнінде жай сандар беруге тиіс деген жоруды айтты.
Бірақ XVIII ғасырдың өзінде-ақ Петербург Ғылым академиясының мүшесі ұлы математик Эйлер n =5 болғанда құрама сан 4 294 967 297 шығатындығын, бұл санның 641-ге бөлінетіндігін дәлелдеді. Ферманың бұл саны n –нің кез келген оң мәнінде жай сан болады деп жоруы n-нің мәні 6; 7; 8; 9; 11; 12; 18; 23; 36; 38 және 73 сандарына тең болғанда да тура болмайтындығы кейініректе анықталды.
Әрқашан да жай сан беретін формуланы табу мақсатымен ғылым жүзінде істелінген басқа да талаптардың барлығы да нәтижесіз болып шықты. Ал барлық жай сандарды қамтитын жалпы формула болмаса, онда берілген санның жай сандар немесе құрама сандар категориясына жататындығын анықтауға тура келгенде, жай сандар кестелері қазірдің өзінде де бірден-бір ғана құрал болып табылады. Эратосфен т о р ы. Жай сандар кестесін жасау тәсілдерінің ең оңай сонымен қатар, ең ертеден келе жатқан тәсілдерінің бірі – Архимедтің досы, александриялық математик, астроном және географ Эратосфен (біздің эрамызға дейінгі 276 ж. туып, 196 ж. қайтыс болған ғалым) ұсынған тәсіл. Эратосфен ұсынған тәсілдің мазмұны мынау: натурал сандар екіден басталып жазылады: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … 1000,… сонан кейін барлық құрама сандар былайша өшіріледі: бұл қатардағы бірінші сан – 2, жай сандар анықтамасын қанағаттандыратын сан болғандықтан, өшірілмейді де, оған бөлінетін сандардың барлығы, яғни 2-нің өзінен басқа барлық жұп сандар өшіріледі.2-ден кейінгі өшірілмей қалған сандардың біріншісі 3. Бұл – жай сан, өйткені ол 2-ге бөлінбейді (өйтпегенде ол өшірілген болар еді), демек, 3 тек 1-ге және өзіне-өзі ғана бөлінеді. Бұдан кейін 3-тің өзінен басқа оған еселік барлық сандар өшіріледі. Демек, 3 санынан кейінгі келесі саннан бастап санағанда натурал сандардың әрбір үшіншісі өшіріледі. Бұдан кейінгі өшірілмей қалған сандардың біріншісі 5. Бұл – жай сан, өткені ол 2-ге де, 3-ке де бөлінбейді, өйтпегенде ол өшірілген болар еді, сонымен 5 тек 1-ге және өзіне-өзі ғана бөлінеді. Сонан кейін 6-дан бастап санағанда әрбір бесінші сан (10, 15, 20, …), яғни 5-ке еселі сандардың барлығы өшіріледі. 5-тен кейінгі өшірілмей қалған 7 саны жай сан болады. 7 саны өшірілмей қалдырылып, натурал қатардағы 7-ге еселік сандардың барлығы өшіріледі. Осылайша 11-ге, 13-ке т.б. еселік бүкіл қатар түгелденгенше өшіріле беріледі. Өшірілмей қалған сандар жай сандар болады. Бұл процесс  дәлдігіне дейін жүргізіледі.
Жай сандар кестесін жасаудың бұл тәсілінің жұртқа мәлім аты – Эратосфен торы (4-сурет). Бұлай аталу себебі, Эратосфен жоғарыда айтылған әдіспен құрама сандардың орнын тесіп отырған. Өйткені ол заманда жазу ағаш жапырақтарына, малдың не аңның илеген терілеріне т.б. жазылатындарды. Сонда тесіктері бар, тор көз пайда болған.
жүктеу/скачать 67,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|