§17. Ықтималдықтарды қосудың жалпы теоремасы
Өткен 13-параграфта екі (не бірнеше) оқиғалар үйлесімсіз болғандағы қосу теоремасын, яғни оның
(1)
болатынын дәлелдедік. Ал бұл оқиғалар үйлесімді болса, онда теорема орындалмайды. Сондықтан кез келген оқиғалар үшін де орындалатын төмендегі жалпы теореманы дәлелдейік.
Теорема. Екі оқиғаның кемінде біреуінің пайда болу ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысынан оқиғалардың бірден пайда болу ықтималдығын шегергенге тең болады
Дәлелдеу. Бұрынғыша, барлық тең мүмкіндікті жағдайлар санын n дейік. Бұлардың ішінде А оқиғасына қолайлысы m1 , B үшін қолайлысы m2, AB үшін қолайлысы m3, A+B үшін қолайлысы m4 болсын. Сонда (1) өрнегін құрайтын қосылғыштар мына түрде жазылады:
,
, . (2)
Бұл белгілеулерден m1+m2 қосындысынан А және В оқиғаларына бірдей қолайлы жағдайлар саны m3-ті шегерсек, А+В оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m4 шығатынын байқаймыз. Сонымен ол m4= m1+ m2 –m3 болып шығады. Бұл теңдіктің екі жағын да n-ге бөліп, (2)теңдіктерді ескерсек, (1) өрнегі шығады. Сөйтіп, теорема дәлелденді. А және В үйлесімсіз болса,
болады.
Бұл жерде айтылып отырған А және В оқиғалары тәуелді не тәуелсіз оқиғалар болуы мүмкін. Егер А мен В тәуелді оқиғалар болса, онда (15.1) теңдікті ескеріп, (1) өрнегін
A (B) (3)
не
B (A) (4)
түрінде жазуға болады.
1-мысал. Колодада 36 карта бар. Кездейсоқ алынған бір картаның көзір немесе тұз болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Шыққан картаның көзір болуы А оқиғасы, тұз болуы В оқиғасы болсын. Сонда көзір тұздың шығуы А∙В оқиғасы болады, мұның ықтималдығы
A (B) ∙ .
А және В оқиғалары үйлесімді, өйткені көзір карта тұз болуы да мүмкін. Олай болса,
не өйткені
Достарыңызбен бөлісу: |
