Н. В. Куцубина системный анализ при принятии решений
Правило исключения интервалов
жүктеу/скачать 6,77 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Правило исключения интервалов.
| Правило исключения интервалов.
Пусть функция f(x) унимодальна на отрезке [ a, b ], а ее минимум достигается в точке х * . Рассмотрим точки х 1 и х 2 , расположенные a х 1 х 2 b . Если f ( x 1 ) f ( x 2 ), то точка минимума f(x) не лежит в интервале ( а, x 1 ). Если f ( x 1 ) f ( x 2 ), то точка минимума f(x) не лежит в интервале ( b, x 2 ). Это правило позволяет реализовать процедуру поиска путем после- довательного исключения частей исходного ограниченного интервала. По- иск завершается тогда, когда оставшийся подынтервал уменьшается до до- статочно малых размеров. Сущность метода полиноминальной аппроксимации заключается в том, что непрерывную функцию в некотором интервале можно аппрокси- мировать полиномом достаточно высокого порядка. Следовательно, если функция унимодальна и найден полином, который достаточно точно ее ап- проксимирует, то координаты точки оптимума функции можно оценить путем вычисления координаты точки оптимума полинома. Методы с использованием анализа производных заключаются в сле- дующем: необходимыми условиями того, что точка х * является точкой ло- кального минимума (максимума) дважды дифференцируемой функции f(x) на интервале ( a, b ), являются следующие отношения: (4.4) Условия (4.4) являются необходимыми, но недостаточными, так как они характерны не только для точек оптимума, но и для то- чек перегиба (рис. 4.7). Пусть в точке х * первые ( n − 1) произ- водные функции обращаются в нуль, а про- изводные порядка п отличаются от нуля. Рис. 4.7. Функция с точкой перегиба Электронный архив УГЛТУ 96 Если n – нечетное, то х * – точка перегиба. Если n – четное, то х * – точка локального оптимума, причем если производная положительна, то х * – точка локального минимума, если отрицательна, то х * – точка локального максимума. Пусть имеется функция, определенная на всей действительной оси: Первая производная этой функции Корни этого уравнения (стационарные точки) Вторая производная функции Значения функции и ее второй производной в стационарных точках даны в табл. 4.3. Таблица 4.3 Функция и ее производные х f(x) f(x)/dx 2 1 2 3 4 36 27,4 44 5,5 0 60 -120 540 Из приведенного решения следует, что х = 1,3 – точка локального минимума, х = 2 – точка локального максимума. Для идентифицирования точки х = 0 необходимо взять третью про- изводную: Так как третья производная в точке х = 0 отлична от нуля и имеет нечетный порядок, точка х = 0 является не точкой оптимума, а точкой перегиба. Следовательно, глобальный минимум функции f Г min = 5,5, гло- бальный максимум f Г max = 44. Если функция имеет ограничения в интервале [ а, b ], то определяются также значения этой функции на границах этих интервалов. Электронный архив УГЛТУ 97 Несмотря на то, что безусловная оптимизация функции одной пере- менной – это наиболее простой тип оптимизационных задач, она занимает центральное место в теории оптимизации как с теоретической, так и с практической точек зрения. Это связано с тем, что задачи однопараметри- ческой оптимизации достаточно часто встречаются в инженерной практике и, кроме того, находят свое применение при реализации более сложных итеративных процедур многопараметрической оптимизации. жүктеу/скачать 6,77 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|