Практикум по решению задач

Динамические переменные классической механики

жүктеу/скачать 1,35 Mb. бет 18/38 Дата 07.02.2022 өлшемі 1,35 Mb. #89389 түрі Практикум

Байланысты:
Атомная физика. Практикум по решению задач.
Атомная физика. Практикум по решению задач.

Бұл бет үшін навигация:

• Проекция момента импульса на ось
• Пример 5.5.
• Пример 5.6.

Динамические переменные классической механики	Соответствующие операторы в квантовой механике
Вид оператора
Координата x		= x
Проекция импульса Рx
Вектор импульса
Квадрат модуля импульса
Кинетическая энергия
Потенциальная нергия
Полная энергия Е = Т + U
Момент импульса
Проекция момента импульса на ось z		(в сферической системе)

Примеры решения задач


Пример 5.1. Найти длину волны электрона, имевшего начальную скорость 10⁶м/с и ускоренного разностью потенциалов 4 В.


Решение

Для определения длины волны электрона воспользуемся формулой де Бройля:

,
где h – постоянная Планка, Р – импульс электрона.
Электрон в данной задаче можно рассматривать как нерелятивистский, т.к.  = / c  0.003, а еU = 4 эВ.
Поэтому импульс электрона в конце ускорения можно найти по формуле:
,
где
Т = Т₀ + еU = m ²/ 2 + eU  6.84 эВ.
Соответственно, длина волны ускоренного электрона будет равна:
нм.


Пример 5.2. Две одинаковые нерелятивистские частицы движутся перпендикулярно друг другу с дебройлевскими длинами волн ₁ и ₂. Найти дебройлевскую длину волны каждой частицы в системе их центра инерции.


Решение

В Ц – системе (системе центра инерции) импульсы частиц равны:

где  - приведенная масса, _отн. – относительная скорость частиц.
Для двух одинаковых частиц
;
,

т.к. частицы движутся перпендикулярно друг другу ( = 90⁰). Учитывая, что
 = h / p,
получим в Ц – системе:
,
где - скорости частиц в лабораторной системе отсчета.
Подставив ₁ и ₂ в формулу для , получим, что дебройлевская длина волны каждой частицы в Ц – системе будет равна:
.
Пример 5.3. Параллельный пучок атомов водорода со скоростью = 1.2 км/ c падает нормально на диафрагму с узкой щелью, за которой на расстоянии = 1м расположен экран. Исходя из соотношения неопределенностей, оценить ширину щели, при которой эффективная ширина изображения на экране будет минимальной.


Решение

 - ширина щели , S – ширина изображения , x =  - неопределенность координаты пучка в направлении x при прохождении диафрагмы.

Из рисунка видно, что ширина изображения

S =  +  ',
где ' – дополнительное уширение, связанное с неопределенностью скорости (импульса) в направлении x при прохождении диафрагмы.
 ^’/2 = t  ,
где - время, за которое пучок доходит до экрана.
Из соотношения неопределенности
или
найдем, что

тогда
.
В результате зависимость ширины пучка S от ширины щели  будит иметь вид:
.
Чтобы найти ширину щели при которой эффективная ширина изображения S будет минимальной, исследуем функцию S = f () на экстремум. Для этого возьмем производную от S по  и приравняем нулю.
.
Откуда получим, что
см.


Пример 5.4. Состояние частицы, находящейся в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной , описывается волновой функцией , где А – некоторая постоянная. Найдите постоянную А из условия нормировки.


Решение

Условие нормировки для данной задачи запишется в виде:

или
.
Взяв этот интеграл, получим, что
.


Пример 5.5. Проверить операторное равенство .


Решение
Для этого подействуем произведением операторов на волновую функцию  (x, y, z):
.
Из этого равенства видно, что
.
Пример 5.6. Найти результат действия оператора на функцию cos x.


Решение

жүктеу/скачать 1,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: