Практикум по теоретическим основам электротехники предназначен для студентов «Электроэнергетического»

20 
0
1
2
2






i
L
C
dt
di
L
R
dt
i
d
Заменим дифференцирование 
р
и получим квадратное уравнение: 
.
0
1
2





L
C
p
L
R
p
Корни квадратного уравнения: 
.
1
4
2
2
2
2
,
1
L
C
L
R
L
R
p







В зависимости от параметров схемы могут возникнуть три режима: апериоди-
ческий, пограничный и колебательный. 
.
2
4
1
4
2
2
2
2
C
L
R
L
C
L
R
L
C
L
R










Апериодический переходный процесс 
Апериодический переходный процесс возникает, если 
C
L
R


2
, два корня, 
корни вещественные и разные. 
Введем обозначения: 
.
1
,
2
0
L
C
L
R






Тогда корни приобретут вид: 
.
2
0
2
2
,
1







p

21 
Так как принужденная составляющая тока равна нулю то: 
cв
t
i
t
i
)
(
)
(

. 
При вещественных разных корнях свободная составляющая записывается в 
виде: 
.
)
(
2
1
2
1
t
p
t
p
св
e
A
e
A
t
i






Запишем это уравнение в системе с продифференцированным уравнением: 



















t
p
t
p
t
p
t
p
e
A
p
e
A
p
dt
di
e
A
e
A
t
i
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
)
(
. 
При 
t=
0: 












2
2
1
1
0
2
1
)
0
(
A
p
A
p
dt
di
A
A
i
t
(1.15) 
Чтобы определить начальные условия нужно выделить независимые началь-
ные условия и зависимые: 
Независимые начальные условия определяем из законов коммутации: 
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(





i
i
i
– ток на катушке индуктивности скачком измениться не мо-
жет. 
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(





C
C
C
U
U
U
– напряжение на емкости скачком измениться не мо-
жет. 

22 
Зависимым начальным условием является: 
0

t
dt
di
. 
Зависимые начальные условия находятся из законов Кирхгофа. 

E
u
dt
di
L
i
R
C
t









0
0
0
)
0
(
)
0
(
. 
Выразим 
0

t
dt
di
, 
L
E
dt
di
t


0
. 
Подставляем найденные независимые и зависимые условия в систему уравне-
ний: 











2
2
1
1
2
1
0
A
p
A
p
L
E
A
A
Решая систему уравнений, находим постоянные интегрирования: 




2
1
2
2
1
1
;
p
p
L
E
A
p
p
L
E
A







. (1.16) 
Учитывая, что 
.
2
2
0
2
2
1






p
p
(1.17) 
Подставляя (1.17) в выражения (1.16), получим: 




.
2
;
2
2
0
2
2
2
0
2
1













L
E
A
L
E
A
Подставляя полученные постоянные интегрирования в уравнение для свобод-
ной составляющей тока, получим переходный ток: 

23 



































t
e
e
p
p
L
E
t
i
t
2
0
2
2
0
2
2
1
)
(






А. 
Такой переходный процесс называется апериодическим. 
Пограничный переходный процесс 
Пограничный переходный процесс возникает, если 
C
L
R
2

. 
Корни квадратного уравнения: 
.
1
4
2
2
2
2
,
1
L
C
L
R
L
R
p







Если дискриминант равен нулю, 
Д
=0, тогда корни: 






2
1
,
p
p
. 
Два корня одинаковые, и кратные. 
C
L
R
L
C
L
R
L
C
L
R










2
4
1
4
2
2
2
2
– критическое скольжение. 
Вид свободной составляющей: 


t
св
e
t
A
A
i







2
1
)
0
(
. 
Необходимо определить постоянные интегрирования 
А
1
и 
А
2
. 


























t
t
t
e
t
A
A
e
A
dt
di
e
t
A
A
t
i




2
1
2
2
1
)
(
. 
При 
t
=0: 

24 










1
2
0
1
)
0
(
A
A
dt
di
A
i
t

(1.18) 
Независимые начальные условия: 
i
(0)=0 – первый закон коммутации, 
0
)
0
(

C
U
– второй закон коммутации. 
Зависимые начальные условия: 
L
E
dt
di
t


0
. 
Подставляем эти условия в систему уравнений (1.18) и находим постоянные 
интегрирования: 







L
E
A
A
2
1
0
. 
Тогда переходный ток запишется в виде: 
.
)
(
t
e
t
L
E
t
i






Пограничный переходный процесс это процесс на границе между апериодиче-
ским и колебательным процессами. 
Колебательный переходный процесс 
Колебательный переходный процесс, возникает, если корни характеристиче-
ского уравнения комплексные и сопряженные: 

25 
0
1
2





L
C
p
L
R
p
. 
Корни квадратного уравнения: 
.
1
4
2
2
2
2
,
1
L
C
L
R
L
R
p







Если дискриминант меньше нуля, тогда: 
св
j
p






2
,
1
. 
Ток имеет только свободную составляющую: 
i(t
)=
i
св
(
t
). 
Вид свободной составляющей: 












t
e
A
t
i
св
t
cв
sin
)
(
. 
Запишем систему уравнений: 














































t
e
A
t
e
A
dt
di
t
e
A
t
i
св
t
св
св
t
св
t
cos
sin
sin
)
(
При 
t
=0:



















cos
sin
sin
0
A
A
L
E
A
св
(1.19) 
Из первого уравнения системы (1.19) 
0
0
sin





. 
Из второго уравнения системы (1.19) после подстановки получим:

26 
.
L
Е
А
св



Тогда переходной ток запишется в виде: 
.
sin
)
(
t
e
L
E
t
i
св
t
св










Такой переходный процесс называется колебательным. 

27 
2 Примеры расчета задач классическим методом 
2.1 В заданной цепи (рисунок 2.1) определить все переходные токи и переход-
ное напряжение на индуктивности после коммутации, если известно: 
r
0
=25 Ом; 
r
1
=10 Ом; 
r
2
=r
3
=30 Ом; 
L
=1 Гн; 
U
=100 В. 
Рисунок 2.1 
Решение. Переходный ток 
св
пр
i
i
i


. 
Принужденные токи и напряжение на индуктивности после коммуникации: 
.
0
2
;
4
30
30
30
30
10
100
3
2
3
2
3
2
1
1












L
пр
пр
пр
U
A
i
i
A
r
r
r
r
r
U
i
Свободные токи и напряжение на индуктивности. По методу контурных токов 
для свободных токов имеем: 













.
0
)
(
0
)
(
3
3
3
2
1
2
3
2
1
2
1
dt
di
L
i
r
r
i
r
i
r
i
r
r
cв
cв
cв
cв
cв
i
i
i
i
i
2
2
1
1
1
r
r
r
r
L
U
3
3
3
0

28 
Алгебраизированные уравнения: 











.
0
)
(
0
)
(
3
3
2
1
2
3
2
1
2
1
cв
p
cв
cв
cв
i
L
r
r
i
r
i
r
i
r
r
Характеристические уравнения: 
.
0
900
40
2400
;
0
1
60
30
30
40
или
0
3
2
2
2
2
1













р
р
L
r
r
r
r
r
r
p
или 1500+40
р
=0. Откуда 
.
1
5
,
37
40
1500
С
р



Если в цепи одна индуктивность, то корень характеристического уравнения 
удобно определить по формуле: 
.
1
5
,
37
1
30
30
10
30
10
С
L
r
r
p
bx









где 
r
– сопротивление в ветви с индуктивностью, 
r
bx
– входное сопротивление схемы относительно зажимов ветви с индуктивно-
стью. 
Общие уравнения для свободных токов: 
t
cв
cв
t
cв
t
cв
e
A
i
e
A
i
e
A
i
5
,
37
3
3
5
,
37
2
2
5
,
37
1
1
;
;






При 
t=0
имеем 
.
;
;
)
0
(
3
3
)
0
(
2
2
)
0
(
1
1
cв
cв
cв
i
A
i
A
i
A



Независимые начальные условия: 

29 
По первому закону коммутации имеем: 


.
1
30
30
30
30
10
25
100
2
1
2
1
)
0
(
)
0
(
3
2
3
2
1
0
3
2
A
r
r
U
i
i
r
r
r
r












Следовательно, 
2
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(
3
3
3




пр
cв
i
i
i
то есть 
1
3


А
А. 
Зависимые начальные условия. На основании 1 и 2 – го законов Кирхгофа для 
начального момента (
t=
0) имеем: 
















.
0
1
)
0
(
)
0
(
;
0
)
0
(
30
)
0
(
10
или
;
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
0
)
0
(
)
0
(
2
1
2
1
3
2
1
2
2
1
1
cв
cв
cв
cв
cв
cв
cв
cв
cв
i
i
i
i
i
i
i
i
r
i
r
Откуда: 
.
A
25
,
0
и
A
75
,
0
;
A
75
,
0
)
0
(
и
A
25
,
0
)
0
(
2
1
1
2






A
A
i
i
cв
cв
Свободные токи и напряжение на индуктивности: 
.
B
5
,
37
;
A
;
A
25
,
0
;
A
75
,
0
5
,
37
3
5
,
37
3
5
,
37
2
5
,
37
1
t
cв
Lcв
t
cв
t
cв
t
cв
e
dt
di
L
U
e
i
e
i
e
i











Переходные токи и напряжения на индуктивности: 
.
В
5
,
37
;
A
)
2
(
;
A
)
25
,
0
2
(
;
A
)
75
,
0
4
(
5
,
37
5
,
37
3
5
,
37
2
5
,
37
1
t
L
t
t
t
e
U
e
i
e
i
e
i












30 
2.2 В заданной схеме (рисунок 2.2), параметры которой 
r
1
=200 Ом; 
r
3
=200 Ом; 
C
2
=25 мкФ и приложенное напряжение 
)
5
2
18
200
sin(
311
2
0




t
U
. Определить 
переходные токи и переходное напряжение на емкости после коммутации.
Рисунок 2.2 
Решение. Принужденные токи и напряжение на емкости после коммутации: 
.
B
)
45
200
sin(
200
B
200
)
200
(
;
)
45
200
sin(
A
200
200
200
2
;
)
45
200
sin(
A
200
200
200
2
;
А
200
sin
2
2
311
311
2
200
311
2
0
45
45
2
2
0
3
45
3
2
2
1
3
0
2
45
3
2
3
1
2
1
5
2
18
5
2
18
200
200
200
200
5
2
18
1
1
0
0
0
0
0
0
0
3
2
3
2












































t
U
e
j
e
Z
I
U
А
t
i
e
j
j
Z
Z
Z
I
I
А
t
i
e
j
Z
Z
Z
I
I
t
i
A
e
e
e
Z
U
I
cm
j
j
m
cm
пр
j
m
m
пр
j
m
m
пр
j
j
j
j
j
Z
Z
Z
Z
m
m








Свободные токи и напряжение на емкости. По методу контурных токов имеем: 
i
i
i
2
2
1
1
r
r
C
U
3
3

31 






























0
1
0
)
(
или
0
1
0
)
(
2
2
3
1
3
2
3
1
3
1
1
3
2
3
2
2
2
3
1
3
1
cв
cв
cв
cв
cв
cв
cв
cв
cв
i
pc
r
i
r
i
r
i
r
r
i
r
i
r
dt
i
С
i
r
i
r
r
Характеристическое уравнение: 
.
1
400
4
1600
0
1600
4
0
40000
16000000
80000
0
200
200
200
400
или
0
40000
1
3
3
3
2
1
2
С
р
р
р
r
r
r
r
r
р
pc


















Если в цепи одна емкость, то корень характеристического уравнения удобно 
определять по формуле: 
.
1
400
10
)
(
1
200
200
200
200
6
С
C
r
r
р
bx









где 
r
– сопротивление в ветви с емкостью; 
r
bx
– входное сопротивление схемы относительно зажимов ветви с емкостью. 
Общие выражения для свободного тока: 
.
;
;
400
3
3
400
2
2
400
1
1
t
cв
t
cв
t
cв
e
A
i
e
A
i
e
A
i







32 
При 
t
=0 имеем: 
).
0
(
);
0
(
);
0
(
3
3
2
2
1
1
cв
cв
cв
i
A
i
A
i
A



Независимые начальные условия. По второму закону коммутации имеем: 
.
B
137
)
45
sin(
200
218
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
B
218
)
5
2
63
sin(
311
)
0
(
)
0
(
;
B
311
200
200
200
311
2
)
0
(
)
0
(
0
0
5
2
63
90
5
2
18
2
2
1
0
0
0




























спр
c
ccв
c
c
j
j
j
m
cm
c
c
U
U
U
U
U
e
e
j
e
Z
Z
Z
U
U
U
U
Зависимые начальные условия: 
A.
685
,
0
200
137
)
0
(
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
0
)
0
(
200
137
0
)
0
(
200
)
0
(
200
или
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
0
)
0
(
)
0
(
0
)
0
(
)
0
(
3
3
2
1
3
3
1
3
2
1
3
3
3
3
1
1





























cв
cв
cв
cв
cв
cв
cв
св
cв
cв
cв
ccв
cв
cв
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
r
U
i
r
i
r
A
685
,
0
)
0
(
)
0
(
A
685
,
0
3
1
3





cв
cв
i
i
A
A
37
,
1
A
37
,
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(
A
685
,
0
2
3
1
2
1





A
i
i
i
A
cв
cв
cв
Свободные токи и напряжения на емкости: 

33 
B.
137
400
37
,
1
40000
1
;
685
,
0
;
37
,
1
;
685
,
0
400
400
2
2
400
3
400
2
400
1
t
t
cв
ccв
t
cв
t
cв
t
cв
e
e
dt
i
C
U
i
e
i
e
i















Переходные токи и напряжение на емкости: 














.
B
137
45
200
sin
200
;
A
685
,
0
45
200
sin
;
A
37
,
1
45
200
sin
;
A
685
,
0
200
sin
2
400
0
400
0
3
400
0
2
400
1
t
c
t
t
t
e
t
U
e
t
i
e
t
i
e
t
i















2.3 В заданной цепи (рисунок 2.3) параметры которой 
20
3
2
1



r
r
r
Ом, 
4
10

C
мкФ и приложенное напряжение 
U
=120 В, определить переходные токи и 
переходное напряжение на емкости после коммутации.
Рисунок 2.3 
Решение. Принужденные токи и напряжение на емкости после коммутации: 
)
B
(
60
3
20
,
0
)
A
(
3
40
120
3
3
2
3
1
3
1











np
Cnp
np
np
np
i
r
U
i
r
r
U
i
i
i
i
i
2
2
1
1
r
r
r
C
U
3
3

34 
Корень характеристического уравнения: 
























С
c
r
r
P
вх
1
3
,
3
10
20
20
20
20
20
10
)
(
1
4
6
Свободные токи и напряжения на емкости: 
t
cв
t
cв
t
cв
е
А
i
е
А
i
е
А
i
3
,
3
3
3
3
,
3
2
2
3
,
3
1
1
,
,






При 
).
0
(
),
0
(
),
0
(
:
0
3
3
2
2
1
1
св
i
A
св
i
A
св
i
A
t
c




Независимые начальные условия: 
)
B
(
60
60
120
)
0
(
)
0
(
)
0
(
B
120
)
0
(
)
0
(









cnp
c
ccв
c
c
U
U
U
U
U
U
Зависимые начальные условия определяем из уравнений составленных по за-
конам Кирхгофа для схемы рисунок 2.3: 













.
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
0
)
0
(
)
0
(
3
2
1
3
3
2
2
3
3
1
1
cв
cв
cв
cв
cв
ccв
cв
cв
i
i
i
i
r
i
r
U
i
r
i
r
или:













.
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
60
)
0
(
20
)
0
(
20
0
)
0
(
20
)
0
(
20
3
2
1
3
2
3
1
св
св
св
cв
св
cв
cв
i
i
i
i
i
i
i

35 
Решая систему уравнений, определим свободные токи: 
А.
1
)
(
1
400
400
400
1200
1
1
1
20
20
0
20
0
20
0
1
1
60
20
0
0
0
20
)
0
(
А
2
)
(
2
400
400
400
1200
1200
1
1
1
20
20
0
20
0
20
1
0
1
20
60
0
20
0
20
)
0
(
А
1
)
(
1
400
400
400
1200
1
1
1
20
20
0
20
0
20
1
1
0
20
20
60
20
0
0
)
0
(
3
3
2
2
1
1













































А
А
i
А
А
i
А
А
i
св
св
св
).
B
(
60
)
0
(
;
;
2
;
3
,
3
3
,
3
3
,
3
3
3
,
3
2
3
,
3
1
t
t
ccв
ccв
t
cв
t
cв
t
cв
e
e
U
U
е
i
е
i
е
i












Переходные токи и напряжение на емкости: 


);
A
(
2
);
A
(
3
3
,
3
2
3
,
3
1
t
t
e
i
e
i







36 


).
B
(
60
60
);
A
(
)
3
(
3
,
3
3
,
3
3
t
c
t
e
U
e
i





2.4 В заданной цепи (рисунок 2.4) параметры которой 
Ом
43
,
Ом
30
1
0


r
r
, 
r
2
=200 Ом, 
L
2
=1 Гн и приложенное напряжение 
)
30
200
sin(
200
2
0



t
u
опреде-
лить переходные токи и напряжение на индуктивности после коммутации. 
Рисунок 2.4 
Решение. Принужденные токи и напряжение на индуктивности после комму-
тации. 
A;
15
,
1
200
200
200
15
,
1
2
A;
)
50
200
sin(
15
,
1
A;
15
,
1
200
200
200
15
,
1
2
A;
)
5
200
sin(
15
,
1
2
A;
15
,
1
2
174
200
2
43
200
2
0
0
0
0
0
0
0
0
3
2
3
2
40
5
3
2
2
1
3
0
2
50
5
3
2
3
1
2
0
1
5
35
30
200
200
200
200
30
1
1
j
j
m
np
np
j
j
m
np
np
j
j
j
j
j
j
Z
Z
Z
Z
m
m
e
j
j
e
Z
Z
Z
I
I
t
i
e
j
e
Z
Z
Z
I
I
t
i
e
e
e
e
Z
U
I








































B.
)
40
200
sin(
230
B;
230
15
,
1
200
A;
)
40
200
sin(
15
,
1
0
40
50
2
2
0
3
0
0









t
U
e
e
j
I
Z
U
t
i
Lm
j
j
m
Lm


i
i
i
2
2
1
1
r
r
r
L
U
3
3

37 
Свободные токи и напряжение на индуктивности: 
С
L
L
r
r
P
r
r
r
r
bx
1
4
,
35
1
43
200
43
200
3
1
3
1













t
cв
t
cв
t
cв
e
A
i
e
A
i
e
A
i
4
,
35
3
3
4
,
35
2
2
4
,
35
1
1
;
;






При 
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
0
3
3
2
2
1
1
cв
cв
cв
i
A
i
A
i
A
t




. 
Независимые начальные условия: 
)
0
(
)
0
(
2
2


i
i
. 
Определяем ток 
m
m
I
I
2
1
;


до коммутации: 
.
A
2
200
200
2
100
100
73
200
2
43
30
200
2
0
0
0
0
3
2
3
2
30
30
30
200
200
200
200
30
1
1


















j
j
j
j
j
j
Z
Z
Z
Z
m
m
e
e
j
e
e
Z
U
I


A
200
200
200
2
0
45
3
2
3
1
2
j
m
m
e
j
Z
Z
Z
I
I








A.
707
,
0
)
45
sin(
)
0
(
)
0
(
A
)
45
200
sin(
0
2
2
0
2








i
i
t
i
Свободная составляющая тока 
)
0
(
св
i
определяется по первому закону комму-
тации: 
A.
174
,
0
A
174
,
0
881
,
0
707
,
0
)
50
sin(
15
,
1
707
,
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
2
0
2
2
2












A
i
i
i
np
cв

38 
Зависимые начальные условия: 
















0
)
0
(
174
,
0
)
0
(
0
)
0
(
200
)
0
(
43
или
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
0
)
0
(
)
0
(
3
1
3
1
3
2
1
3
3
1
1
cв
cв
cв
cв
cв
cв
cв
cв
cв
i
i
i
i
i
i
i
i
r
i
r
A
143
,
0
;
A
143
,
0
200
43
174
,
0
200
1
1
200
43
1
174
,
0
200
0
)
0
(
1
1










A
i
cв
. 
A
031
,
0
A
031
,
0
200
43
174
,
0
43
1
1
200
43
174
,
0
1
0
43
)
0
(
3
2










A
i
cв
. 
;
A
174
,
0
;
A
143
,
0
4
,
35
2
4
,
35
1
t
cв
t
cв
e
i
e
i




.
B
16
,
6
)
4
,
35
(
174
,
0
1
;
A
031
,
0
4
,
35
4
,
35
2
4
,
35
3
t
t
cb
Lcв
t
cв
e
e
dt
di
L
U
e
i











Переходные токи и напряжение на индуктивности: 








;
A
174
,
0
50
200
sin
15
,
1
;
A
143
,
0
5
200
sin
15
,
1
2
4
,
35
0
2
4
,
35
0
1
t
t
e
t
i
e
t
i

















;
B
16
,
6
40
200
sin
230
;
A
031
,
0
40
200
sin
15
,
1
4
,
35
0
4
,
35
0
3
t
L
t
e
t
U
e
t
i









39 
2.5 В заданной схеме (рисунок 2.5) параметры которой: 
r
1
=10 Ом; 
r
2
=2,0 Ом; 
r
3
=3 Ом; 
L
1
=0,1 гн; 
C
3
=100 мкф и приложенное напряжение 
U
=120 В включается 
ветвь с емкостью. Определить независимые и зависимые начальные условия необ-
ходимые для вычисления постоянных интегрирования в выражениях для переход-
ных токов. До замыкания рубильника емкость была заряжена до напряжения 
U
c
3
=120 В. 
Рисунок 2.5 
Решение. После замыкания рубильника при 
t
=0 имеем: 
а) независимые начальные условия. По закону коммутации, ток до коммута-
ции: 
).
0
(
)
0
(
)
0
(
A;
10
12
120
)
0
(
)
0
(
1
1
1
2
1
1
1
np
cв
i
i
i
r
r
U
i
i








В принужденном режиме после коммутации: 
A.
10
2
1
1



r
r
U
i
np
. 
Следовательно 
0
10
10
)
0
(
1



cв
i
. 
По второму закону коммутации: 
i
1
1
L
i
i
2
2
1
r
r
r
C
c
U
U
3
3
3
3
+
-

40 
).
0
(
)
0
(
)
0
(
B;
120
)
0
(
)
0
(
3
3
3
3
3
np
cв
С
С
С
С
С
U
U
U
U
U





В принужденном режиме: 
20
10
2
2
2
3





np
С
i
r
U
np
B. 
Следовательно: 
100
20
120
)
0
(
3



cв
С
U
В. 
б) Зависимые начальные условия. Для свободных токов на основании 1 и 2 за-
конов Кирхгофа имеем следующие уравнения: 



















0
0
1
0
3
2
1
2
2
3
3
3
3
2
3
1
1
1
1
cв
cв
cв
cв
cв
cв
cв
cв
cв
i
i
i
i
r
dt
i
C
i
r
i
r
dt
di
L
i
r
При 
t
=0 будем иметь: 























0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
0
)
0
(
3
2
1
2
2
3
3
2
2
0
1
1
1
3
cв
cв
cв
cв
C
cв
cв
t
cв
cв
i
i
i
i
r
U
i
r
i
r
dt
di
L
i
r
св
Из второго и третьего уравнения находим: 
20
2
3
0
3
100
)
0
(
)
0
(
1
1
)
0
(
1
)
0
(
)
0
(
2
3
3
1
3
2
3
1
3
2












r
r
U
i
r
r
r
i
U
r
i
cв
c
cв
cв
С
cв
св
А. 

41 
A.
20
2
3
0
2
100
)
0
(
)
0
(
1
1
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(
2
3
1
2
2
3
1
2
3















r
r
i
r
u
r
r
i
r
U
i
cв
ccв
cв
С
cв
св

Из первого уравнения: 
A/c.
400
1
,
0
20
2
0
10
)
0
(
)
0
(
1
2
2
1
1
0
1

















L
i
r
i
r
dt
di
cв
cв
t
cв
Для определения начальных значений производных от второго и третьего то-
ков продифференцируем второе и третье уравнение исходной системы и рассмотрим 
полученные уравнения при t=0. 
Имеем:
















































.
0
0
)
0
(
0
3
0
2
0
1
0
2
2
3
3
0
3
3
t
cв
t
cв
t
cв
t
cв
cв
t
cв
dt
di
dt
di
dt
di
dt
di
r
C
i
dt
di
r
откуда
 
 





















3
2
0
3
)
0
(
3
2
0
3
)
0
(
0
2
1
3
3
1
3
3
1
1
1
r
r
r
r
r
r
dt
di
t
dt
di
C
i
t
dt
di
C
i
t
cв
cв
cв
cв
cв
A/c
40240
5
1200
200000
3
2
400
3
10
6
100
20












42 
 
 
A/c.
39840
5
800
200000
5
10
400
2
1
1
1
)
0
(
6
100
20
3
3
)
0
(
0
2
3
2
0
3
2
0
3
3
3
1
1































r
r
r
r
r
i
r
dt
di
C
i
t
dt
di
t
dt
di
cв
t
cв
cв
cв
cв
2.6 Найти начальные значения переходных, принужденных и свободных токов 
после включения схемы (рисунок 2.6) на постоянное напряжение 
U
=30 В, если из-
вестно: 
r
0
=10 Ом; 
r
1
=1 Ом; 
r
3
=4 Ом; 
C
=1 мкФ; 
L
=10 мГн. 
Рисунок 2.6 
Решение. В начальный момент после включения цепи емкость представляет 
собой соединение с сопротивлением равным нулю, а индуктивность – бесконечно 
большое сопротивление. Учитывая это, по схеме можно найти начальные значения 
переходных токов: 
0
)
0
(
A
33
30
3
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
A
30
1
30
)
0
(
)
0
(
;
A
3
10
30
)
0
(
3
1
0
1
2
1
0
0













i
i
i
i
r
U
i
i
r
U
i
i
i
1
L
i
i
i
2
1
r
r
r
C
U
3
3
0
0

43 
.
A
6
4
1
30
)
0
(
)
0
(
;
A
3
10
30
)
0
(
3
1
3
3
1
1
0
0
0












r
r
U
i
i
i
i
r
U
i
i
np
np
np
np
np
np
Принужденные токи по схеме (емкость, бесконечно большое сопротивление, а 
индуктивность – не имеет сопротивления): 
.
A
9
6
3
)
0
(
;
0
)
0
(
1
0
2
2








np
np
np
np
np
np
i
i
i
i
i
i
Свободные токи: 
.
A
6
6
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
A
30
0
30
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
A
24
6
30
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
0
3
3
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
A
24
9
33
)
0
(
)
0
(
3
3
3
2
2
2
1
1
0
0
0

























np
cв
np
cв
np
cв
np
св
np
cв
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
2.7 Цепи (рисунок 2.7) параметры которой: 
r
1
=2 Ом; 
r
4
=3 Ом; 
L
2
=0,5 Гн; 
L
5
=1 
Гн; 
C
3
=100 мкФ включается на постоянное напряжение 
U
=100 В. Найти начальные 
значения свободных токов и напряжений. 
Рисунок 2.7 
i
i
i
i
1
L
L
i
2
2
1
r
r
C
U
3
3
5
5
4
4

44 
Решение. В начальный момент после включения цепи емкость представляет 
собой соединение с сопротивлением равным нулю, а индуктивность – бесконечно 
большое сопротивление. Учитывая это, по схеме можно найти начальные значения 
переходных токов и напряжений: 
.
B
60
)
0
(
)
0
(
;
0
)
0
(
;
B
60
20
3
)
0
(
)
0
(
;
B
40
20
2
)
0
(
)
0
(
;
0
)
0
(
)
0
(
;
A
20
3
2
100
)
0
(
)
0
(
)
0
(
5
2
3
4
4
4
1
1
1
5
2
4
1
3
4
1




















U
U
U
i
r
U
i
r
U
i
i
r
r
U
i
i
i
Принужденные токи и напряжения (емкость бесконечно большое сопротивле-
ние, а индуктивность не имеет сопротивления). 
.
0
)
0
(
;
B
100
)
0
(
;
A
50
2
100
)
0
(
)
0
(
2
2
1
1
1
2
1
2
1











np
L
np
np
np
np
np
np
np
U
U
U
U
U
r
U
i
i
i
i
Все остальные принужденные токи и напряжения равны нулю. Свободные то-
ки и напряжения: 
.
0
0
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
А
20
0
20
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
А
20
0
20
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
А
50
50
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
А
30
50
20
)
0
(
)
0
(
)
0
(
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1



























np
cв
np
cв
np
cв
np
cв
np
cв
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i

45 
.
B
60
0
60
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
B
60
0
60
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
0
0
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
B
60
0
60
)
0
(
)
0
(
)
0
(
;
B
60
100
40
)
0
(
)
0
(
)
0
(
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1


























np
cв
np
cв
np
cв
np
cв
np
cв
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
2.8. В заданных схемах (рисунок 2.8) «а», «б». Определить начальные значе-
ния переходных токов и токи в принужденном режиме после включения их на за-
жимы постоянной ЭДС 
Е
=300 В и построить качественно кривые изменения токов в 
переходном режиме. Величины сопротивлений указаны на схемах. 
Решение. Для схемы «а» имеем: 
;
A
10
30
300
)
0
(
)
0
(
3
1



i
i
A.
5
,
7
2
15
;
A
15
10
300
0
)
0
(
3
2
20
20
20
20
1
2









np
np
np
i
i
i
i
Рисунок 2.8,а 
3
i
1
L
i
i
2
10 Ом
20 Ом
20 Ом
Е

46 
Рисунок 2.8,б 
График изменения токов для схемы «а» представлен на рисунке 2.9,а. 
Для схемы «б» имеем: 
;
A
15
10
300
)
0
(
20
20
20
20
1





i
.
A
10
30
300
;
A
5
,
7
2
15
)
0
(
)
0
(
3
3
2






np
np
i
i
i
i
График изменения токов для схемы «б» представлен на рисунке 2.9,б. 
Рисунок 2.9 (а,б) 
 
3
C
i
1
i
i
2
10 Ом
20 Ом
20 Ом
3
3
i
i
1
1
i
i
i
i
i
i
2
2
[А]
[А]
t
t
15
15
10
10
7,5
7,5
0
0
а)
б)