Примеры сильнейших землетрясений мира

42 






=
sin2
2
cos
S
ϑ
ϑ
γ
S
S
b
Соответственно коэффициенты отражения будут иметь вид: 
S
S
P
S
P
S
SS
S
S
P
S
P
SP
ϑ
γ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
γ
κ
ϑ
γ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
γ
κ
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
2
2
2
2
2
2
+
−
=
+
=
Коэффициенты отражения зависят от угла падения волны и от отношения 
скоростей продольной и поперечной волн 
γ
. В случае падения волны 
Р
коэффициенты являются вещественными, так что образуются однородные 
плоские продольная и поперечная волны. На рис. 2.10а изображены 
зависимости коэффициентов 
PS
PP
κ
κ
,
от угла падения продольной волны 
P
ϑ
для 
значения 
3
=
γ
. Интересно то, что при двух значениях угла падения ( 60
°
и 
77,2
°
) отражается только поперечная волна, коэффициент отражения 
продольной волны равен нулю.
Рис.2.10 
а –зависимость коэффициентов отражения волны 
Р
от угла падения для 
3
=
γ
, 
б – зависимость модулей коэффициентов отражения волны 
S
от угла падения. 
При падении же поперечной волны возможен случай, когда продольная 
отраженная волна становится неоднородной. Это происходит, если 
γ
ϑ
1
sin
>
S
. 
В этом случае 
2
)
sin
(
1
cos
S
P
ϑ
γ
ϑ
−
=
становится мнимой величиной и 
аргумент функции 
f
(
t
) 
становится комплексным. При этом коэффициенты 
отражения как продольной, так и поперечной волн оказываются 
комплексными. На рис.2.10б показаны зависимости модулей этих 
коэффициентов от угла падения поперечной волны. В данном случае 
критический угол равен 
∼
35,3
°
(
3
/
1
sin
=
S
ϑ
) . При этом значении угла 
падения модуль коэффициента отражения волны 
S 
становится равным 1 и 
0
30
60
90
θ
P
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0
30
60
90
θ
S
0
0.5
1
1.5
2
2.5
κ
PP
κ
PS
|κ
SP
|
|
κ
SS
|
35.3
a
б

43 
остается таковым при закритических углах. Комплексность коэффициента 
отражения волны 
S 
приводит к изменению формы сигнала в отраженной волне 
по сравнению с формой падающей волны. В случае падения гармонической 
волны это изменение сводится к появлению фазового сдвига в отраженной 
волне.
Продольная волна, отраженная при закритических углах падения, является 
неоднородной – ее форма и амплитуда изменяются при удалении от свободной 
границы, т.е. вдоль оси 
z
, вектор поляризации 
P
z
P
x
ϑ
ϑ
cos
sin
e
e
n
+
=
становится комплексным. Из-за того, что 
P
ϑ
cos
является мнимым, поляризация 
продольной отраженной волны уже не является линейной. В случае 
гармонической волны движение частиц в волне описывается выражением 
)
1
sin
2
1
2
2
2
1
2
2
)]
(
cos[
)]
(
sin[
1
sin
)]
(
sin[
)]
(
cos[
sin
)
,
,
(
−
−


















−
+
−
−
−
+






−
−
−
=
S
c
z
z
S
x
S
P
e
c
x
t
c
x
t
c
x
t
c
x
t
z
x
t
ϑ
γ
ω
ω
κ
ω
κ
ϑ
γ
ω
κ
ω
κ
ϑ
γ
e
e
u
где обозначено
2
1
κ
κ
κ
i
SP
+
=
. Из этой формулы видно, что поляризация 
волны является эллиптической, а амплитуда экспоненциально затухает с 
удалением от границы. Траектории движения частиц непосредственно под 
границей (при z=0) при разных углах падения волны 
SV
изображены на рис.2.11. 
Стрелкой показано направление движения частицы. 
38o
40o
48o
52o
64o
78o
85
o
>
<
>
направление
распространения
волны
Рис.2.11. Траектории движения частиц в отраженной (неоднородной) волне 
Р
при разных углах падения на границу волны 
S.
При одной и той же частоте волна затухает с удалением от границы тем 
быстрее, чем больше угол падения поперечной волны. 
При падении на свободную границу волны, поляризованной перпендикулярно 
плоскости падения (SH) образуется только отраженная волна только поперечная 
волна, имеющая ту же поляризацию, т.е. SH. Коэффициент отражения этой 
волны определяется из условия равенства нулю напряжения 
zy
τ
. Смещения в 
падающей и отраженной волнах имеют вид соответственно 

44 






+
−
=






−
−
=
b
z
x
t
f
v
b
z
x
t
f
v
SS
ϑ
ϑ
κ
ϑ
ϑ
cos
sin
cos
sin
отр
пад
Поскольку 
z
v
zy
∂
∂
=
µ
τ
, очевидно, что условие 
0
=
zy
τ
на границе 
z
=0 
будет 
выполнено, когда 
1
=
SS
κ
. 
Теперь рассмотрим явления на границе раздела двух сред. Вначале рассмотрим 
падение волны SH. Пусть волна падает из среды 1, имеющей скорость 
поперечной волны и плотность соответственно 
1
1
,
ρ
b
, на границу со средой 2
со скоростью и плотностью 
2
2
,
ρ
b
. На границе должно выполняться условие 
жесткого контакта, т.е смещение и напряжение должны быть непрерывны при 
переходе через границу. Поскольку в случае падения волны SH и смещение и 
напряжение имеют только 
y
-
компоненту, то образуются только отраженная и 
преломленная волны, поляризованные по типу SH. Если о сь 
z
направлена от 
среды 1 к среде 2, то 






+
−
=






−
−
=






+
−
=
2
2
2
прел
прел
1
1
1
отр
отр
1
1
1
пад
cos
sin
cos
sin
cos
sin
b
z
x
t
f
v
b
z
x
t
f
v
b
z
x
t
f
v
ϑ
ϑ
κ
ϑ
ϑ
κ
ϑ
ϑ
Условие непрерывности смещений 
прел
отр
пад
v
v
v
=
+
приводит к уравнению 
прел
отр
1
κ
κ
=
+
. А из условия непрерывности напряжений 
z
)
(
прел
2
отр
пад
1
∂
∂
=
∂
+
∂
v
z
v
v
µ
µ
мы получаем второе уравнение 
(
)
прел
2
2
2
отр
1
1
1
cos
1
cos
κ
ϑ
ρ
κ
ϑ
ρ
b
b
=
−
. Из этих двух уравнений находим 
2
2
2
1
1
1
1
1
1
прел
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
отр
cos
cos
cos
2
cos
cos
cos
cos
ϑ
ρ
ϑ
ρ
ϑ
ρ
κ
ϑ
ρ
ϑ
ρ
ϑ
ρ
ϑ
ρ
κ
b
b
b
b
b
b
b
+
=
+
−
=
На рис.2.12а изображены коэффициенты отражения и преломления волны SH в 
зависимости от угла падения при падении волны из среды с большей скоростью 
в среду с меньшей скоростью. В этом случае оба коэффициента при всех углах 
падения являются вещественными. В случае, когда волна падает из среды с 
меньшей скоростью, при углах больших критического коэффициенты 
отражения и преломления становятся комплексными, при этом модуль 

45 
коэффициента отражения становится равным 1, а преломленная волна 
становится неоднородной. Этот случай показан на рис.2.12б 
а б
Рис2.12. а- коэффициенты отражения и преломления волны SH для случая 
2
.
1
/
,
5
.
1
/
2
1
2
1
=
=
ρ
ρ
b
b
; б- модули коэффициентов отражения и преломления 
для случая 
83
.
0
/
,
67
.
0
/
2
1
2
1
=
=
ρ
ρ
b
b
. 
Теперь перейдем к рассмотрению падения на границу волн, поляризованных в 
плоскости падения, т.е. Р или SV. Смещения и напряжения на границе в таких 
волнах содержат по две компоненты - 
z
x
u
u
,
и
zz
zx
τ
τ
,
. Эти компоненты 
должны быть непрерывны при переходе через границу. Чтобы обеспечить такие 
граничные условия, необходимо допустить образование на границе четырех 
волн – отраженных Р и SV и преломленных Р и SV. Коэффициенты отражения 
и преломления определятся из четырех граничных условий. Для определения 
знака коэффициентов отражения и преломления волн SV следует выбрать 
направление векторов поляризации в этих волнах, а также в падающей волне в 
случае падения волны SV. Для определенности выберем направления смещений 
в поперечных волнах так, как указано на рис.2.13. На этой схеме показаны 
четыре возможных варианта падающей волны: Р и SV в верхней среде 1 и Р и 
SV 
в нижней среде 2. Следует, конечно, иметь в виду, что каждый из этих 
вариантов должен рассматриваться в отдельности. Вектор коэффициентов в 
случае падения волны с индексом 
i
(соответствие индексов типам падающей 
волны указано на рис.2.13)

обозначим 
κ
i
( 
κ
i
1
, 
κ
i
2
,
κ
i
13
,
κ
i
4
).
Нетрудно показать, что эти коэффициенты определяются из следующей 
системы уравнений, отвечающих граничным условиям:
i
i

жүктеу/скачать 8,05 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: