Примеры сильнейших землетрясений мира

51 
гармонической волны фаза поперечной волны смещена относительно фазы 
продольной волны на 
π
/2.
Из (2.48) с учетом (2.51) можно записать выражения для горизонтальной 
u
(
z
)
и вертикальной 
w
(
z
) 
компонент смещений в гармонической волне Релея с 
точностью до некоторого постоянного множителя 
С
: 
(
)
(
)
(
)
(
)
)
/
(
sin
)
/
exp(
)
/
exp(
)
(
)
/
(
cos
)
/
exp(
)
/
exp(
)
(
c
x
t
c
z
c
z
C
z
w
c
x
t
c
z
c
z
C
z
u
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
ω
αω
αβ
βω
α
ω
βω
αβ
αω
β
(2.52)
Из этих соотношений легко видеть, что отношение амплитуд горизонтальной 
и вертикальной компонент на поверхности равно
β
α
/
. 
Горизонтальная 
компонента смещена относительно вертикальной на 
π
/2, и соответственно 
движение в волне происходит по эллипсу. При этом в верхней части эллипса 
движение происходит в направлении противоположном направлению 
распространения волны. С глубиной этой отношение изменяется, на некоторой 
глубине горизонтальное смещение становится равным нулю, так что волна 
оказывается линейно поляризованной, и ниже этой глубины изменяется 
направление движения по эллипсу. На рис.2.17 изображено изменение 
амплитуд вертикальной
 
и горизонтальной компонент с глубиной для
3
1
/
=
a
b
.
Для этого отношения скоростей поперечной и продольной волн отношение осей 
эллипса поляризации на поверхности равно 0.681. При изменении 
b/a 
от 
2
1
до 
0 это отношение изменяется от 0.786 to 0.541.
 
 
Рис.2.17. Зависимость вертикальной (
w
) 
и горизонтальной (
u
)
компонент смещения в волне Релея от глубины . 
Волна Релея может возбуждаться сосредоточенным источником в 
полупространстве, поскольку волна, излучаемая таким источником, может быть 
представлена суперпозицией однородных и неоднородных волн. Поэтому она 
будет содержать и волны, распространяющиеся с кажущейся скоростью равной 
скорости релеевской волны. В этом случае амплитуда релеевской волны 
10
8
6
4
2
0
kz
w
u

52 
приобретает дополнительный множитель 
r
π
2
1
за счет геометрического 
расхождения в горизонтальной плоскости. 
Волна Лява. 
Неоднородные волны SH не могут существовать в полупространстве со 
свободной поверхностью, так как невозможно удовлетворить граничному 
условию отсутствия напряжений на поверхности только одной волной – для 
этого ее амплитуда должна быть равна нулю. Но если имеется 
приповерхностный слой, в котором скорость поперечной волны 
b
1
меньше, чем 
в подстилающем полупространстве (
b
2
), то может существовать волна, 
распространяющаяся 
вдоль 
поверхности, 
амплитуда 
которой 
в 
полупространстве
убывает с глубиной. Это – волна Лява.
Волна Лява образуется однородными волнами в слое и неоднородными 
волнами в полупространстве. Поэтому кажущаяся скорость волны Лява должна 
находиться в пределах
2
1
b
c
b
≤
≤
, поскольку 
,
sin
sin
1
2
2
1
1
b
b
c
S
S
α
α
=
=
и 
2
1
1
sin
1
b
b
S
≥
≥
α
. 
Такие волны должны удовлетворять граничным условиям на 
свободной границе слоя и на границе слоя и полупространства. 
Как и в случае волн Релея, решение будем строить в виде суперпозиции 
плоских волн, распространяющихся вдоль поверхности z=0 с кажущейся 
скоростью 
c
. 
Модуль сдвига и плотность в слое обозначим 
1
1
,
ρ
µ
, в 
полупространстве -
2
2
,
ρ
µ
. В слое будут распространяться однородные волны. 
Таких волн будет две – одна распространяется вниз (в положительном 
направлении оси z), другая – вверх (в отрицательном направлении оси z). 
Смещение в такой волне будет иметь одну компоненту 
v 
в направлении оси 
у
:
)]
1
(
exp[
)]
1
(
exp[
2
1
2
2
1
2
1
−
+
−
+
−
−
−
=
b
c
c
z
c
x
t
i
B
b
c
c
z
c
x
t
i
A
v
ω
ω
 
В полупространстве будет распространяться неоднородная волна: 
)]
1
(
exp[
2
2
2
2
b
c
c
z
i
c
x
t
i
C
v
−
+
−
=
ω
Из граничного условия равенства нулю напряжения на свободной границе слоя 
мы будем иметь
0
)]
/
(
exp[
)
(
1
2
1
2
1
0
1
0
=
−
−
−
−
=
=
=
=
c
x
t
i
B
A
b
c
c
i
z
v
z
z
zy
ω
ω
µ
∂
∂
µ
τ
откуда следует, что 
A=B. 
Таким образом, решение в слое может быть записано в 
виде: 
)]
/
(
exp[
1
cos
2
2
1
2
1
c
x
t
i
b
c
c
z
A
v
−








−
=
ω
ω
На границе слоя и полупространства 
z=H
должны выполняться условия 
равенства смещений и напряжений: 

53 
1
exp
=
1
cos
2
2
2
2
2
1
2








−
−








−
b
c
c
H
C
b
c
c
H
A
ω
ω
1
exp
1
=
1
sin
1
2
-
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1








−
−
−
−








−
−
b
c
c
H
b
c
c
C
b
c
c
H
b
c
c
A
ω
ω
µ
ω
ω
µ
Из этих уравнений следует, что скорость 
с
должна удовлетворять уравнению 
1
1
1
tan
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
−
−
=








−
b
c
b
c
b
c
c
H
µ
µ
ω
(2.53 ) 
Это -
дисперсионное уравнение
для скорости волны Лява. В отличие от 
релеевской волны в полупространстве скорость волны Лява зависит от частоты. 
Если над полупространством имеется не один, а несколько слоев, то волна Лява 
будет существовать при условии, что хотя бы в одном из слоев скорость 
меньше, чем в полупространстве, но дисперсионное уравнение будет более 
сложным – оно может быть получено исходя из граничных условий на всех 
границах слоев.
В случае, когда в слоистом полупространстве распространяется волна Релея 
(суперпозиция волн P и SV), скорость такой волны также будет зависеть от 
частоты. Но для существования такой волны не обязательно, чтобы скорость в 
каком-либо из слоев была бы меньше скорости в полупространстве.
Как уже было указано выше, в случае одного слоя на полупространстве 
скорость волны Лява должна быть в пределах между 
2
1
и
b
b
. 
Это нетрудно 
видеть и из дисперсионного уравнения (2.53). 
Если теперь рассматривать уравнение (2.53) как зависимость частоты от 
скорости, то легко показать, что для заданного значения скорости 
с 
существует 
бесконечное число частот, удовлетворяющих дисперсионному уравнению. 
Действительно, мы можем дисперсионное уравнение записать в виде
π
µ
µ
ω
k
b
c
b
c
b
c
c
H
+














−
−
−
=
1
1
arctan
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
. 
так что 
)
(
c
k
ω
ω =
, где 
k 
может принимать любое целое значение. 
В то же время можно показать, что любому заданному значению 
ω
 
может 
соответствовать конечное число значений 
c
. Уравнение (2.53) может быть 
записать в форме 
)
(
)
,
(
1
2
c
f
c
f
=
ω
График правой части этого уравнения изображен на рис.2.18 сплошной линией. 
А график левой части (пунктир на рис.2.18) – аналогичен графику тангенса. 
При значениях аргумента 
π
π
2
+
k
левая часть становится равной 
±∞
. Но 
скорость изменения левой части зависит от 
ω
: при малых значениях 
ω
графики 
левой и правой частей пересекутся в одной точке, при возрастании 
ω
аргумент 

54 
левой части может при каком-то значении 
с
 
принять значение 
2
π
, и тогда 
графики пересекутся уже в двух точках. Это схематически показано на рис.2.18 
для двух значений 
ω
. При дальнейшем возрастании 
ω
графики пересекутся уже 
в трех точках, и т.д.

жүктеу/скачать 8,05 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: