Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f



Pdf көрінісі
бет123/146
Дата06.02.2022
өлшемі9,73 Mb.
#80743
түріСборник задач
1   ...   119   120   121   122   123   124   125   126   ...   146
Байланысты:
Berman Sbornik


§ 
1
. Тригоном етрические многочлены
ріх 
1
е - іх
4358. Пользуясь формулами 
Эйлера cos 
х = -— —
----- и s in x =
g i x __е - ix
,
доказать, что функции sin” 
х
и cos Л" могут быть пред-
21
ставлены в виде тригонометрических многочленов «-го порядка.
4359. Доказать соотношения

2
г.
2
г.
2
-
^ sin” 
х
cos 
т х dx
=
\
sin” 
х
sin 
т х dx
= jj cos" 
x
cos 
rnx dx
=
b
o
o
o-
=
\
cos” 
x
sin 
mx dx
=
0
, если 

n (m
и 
n
— целые числа), 
о
4360. Показать, что всякий тригонометрический многочлен л-го 
порядка, составленный пз одних косинусов, можно представить в виде 
Р
(cos 
ср), 
где 
Р (х)
— многочлен н-й степени относительно 
х.
4361. С помощью формул Эйлера (см. задачу 4358) доказать соот­
ношение

ПФ 
(« 4 -1 )9  
S1I1  COS ---- ! „
,
cos о -j- cos 2? -J- . . . -j- cos 
ny —
 —
----------- -— .
sill 
-‘j
4362. Доказать соотношения:
1) cos -}- cos (2
n
 —
1)9
 =
;

tl'S

(«-f- 1)’5
sm —■
sin—
2
) sin cp -j- sin 
2
its
 =
-----------------— .
sin 
~
4363. Найти нули тригонометрических многочленов
sin <р -J- sin 
2
cp - ( - . . . -f- sin 
nrs>
и
cos cp -j- cos 
2
cp -j- . . . -j- cos 
no
в интервале [
0

2
~].


§ 2. РЯДЫ Ф У РЬЕ
281
4364. Показать, что тригонометрический многочлен
S
1
I
1
но 
п
г. 
2~ 
‘>-
...,(2 < 7 — 1 ) — —г и минимумы и т о ч к а х — , 2- — ,...,( < 7 — 1)—, где 

7
у /і -j- 
1

’ 
// ’ 


/І 
п
-(- 1
(/= — ,
если к — четное, и п
— нечетное.
4365*. Доказать, что тригонометрический многочлен без свободного 
члена
Ф„ (?) = «j cos © -j- 
by
sin 
у-\- 
ап
cos //? -]- &,г sin 
nrs>,
не ранный тождественно нулю, не может сохранять для всех о посто­
янного знака.
х ==
0 в интервале [ — тс, тс] непрерывна вместе со своей первой про­
изводной, но не удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Можно ли 
ее разложить в ряд Фурье в интервале [ — тс, тс]?
Решить задачи 
4 3 6 7

4 3 7 1
в предположении, что /
(х)
— непрерыв­
ная функция.
4367. Функция / (л*) удовлетворяет условию
Доказать, 
что 
все 
ее четные 
коэффициенты Фурье 
равны 
нулю 
(а0 
= a
0).
4368. Функция 
}\ х )
удовлетворяет условию
Доказать, что все ее нечетные коэффициенты Фурье равны пулю.
4369. Функция 
f ix )
удовлетворяет условиям 
/ ( —
x) = f(x )
и
§ 2. Ряды Фурье
4366. Убедиться, что функция 
у = х
9
sin 
при *
ф
0 и _ у = 0 при
/ ( * + тс) = - / ( * ) •
f i x
тс) — /
(
лг
).


4372. Разложить в ряд Фурье функцию, равную — 1, в интервале 
(— тс, 0) и 1 в интервале (0, it).
TZ 
X
4373. Разложить в ряд по синусам функцию 
У —
— у в интер­
вале (0, 
1
Г).
282 
ГЛ. XV. ТРИГОНОМ ЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
4374. 
Используя результаты задач 
4 3 7 2
и 
4 3 7 3 , 
получить разлож е­
ния для функции 
у — х
и 
у =
' - 
~
. Указать интервалы, в которы х 
полученные формулы будут справедливы.
4375. Разложить функцию 
у =
-^ — у в интервале (0, тс) в ряд по 
косинусам.
4376. Разложить функцию 
у = х
‘2
в ряд Фурье: 
I) в интервале 
(— тс, 
к), 2)
в интервале (0, 2тс) (рис. 72 и 73).


§ 2. РЯДЫ Ф У РЬЕ
283
При помощи полученных разложений вычислить суммы рядов:
В задачах 4377 — 4390 разложить в ряд Фурье данные функции 
в указанных интервалах.
4377. Функцию 
у — х
1
в интервале (0, тс) в ряд синусов.
4378. Функцию 
у = х л
в интервале (— тс, тс).
4379. Функцию 
f{x ),
равную 1 прп — т с < \ г < ^ 0 и равную 3 при
4380. Функцию 
fix ),
равную 

в интервале (0, 
Һ)
и равную 0 
в интервале (Л, тс), в ряд косинусов (0<^Л < ^тс).
4381. Напрерывную функцию 
fix ),
равную 1 при *
= 0, равную 0
в интервале (2/z, тс) и линейную 
в интервале (0, 2
Һ),
в ряд косину­
сов (0 < / г < тс/2).
4382. Функцию 
у = \х\
в интервале (—
I, I).
4383. Функцию 
у ~ е х
— 1 в интервале (0, 2тс).
4384. Функцию 
у = ех
в интервале (— /, /).
4385. Функцию у = cos я * в 
интервале (— тс, тс) 
(а — не целое
число).
4386. Функцию у = sin 
ах
в 
интервале 
(— тс, 
тс) (а — ие целое
4387. Функцию j/ = sinaAT 
( а — целое число) в интервале (0, тс)
в ряд косинусов.
4388. Функцию 
у
= cos 
ах
(а — целое число) в интервале (0, тс)
в ряд синусов.
4389. Функцию 
у =
sh 
ах
в интервале (— тс, тс).
4390. Функцию 
у
= ch 
х
в интервале (0, тс) в ряд косинусов и ряд
синусов.
4391. Разложить в ряд Фурье функцию, график которой изображен 
на рис. 74.
o
o
o
.
число).
-3 
- 2
 
- 1
 
О
3
Л-
Рис. 74.


284
ГЛ. XV. ТРИГОНОМ ЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
4392*. Разложить в ряд Фурье функцию, график которой изобра« 
жен на рис. 75.
4 3 9 3 * . Разложить в ряды Фурье функции, графики которых приве­
дены на рис. 76 и 77.
4394. Разложить функцию 
у — х ( ъ

х)
в ряд синусов в интер­
вале (0, тс). Использовать полученный результат для нахождения суммы 
ряда



, ( - I)"-1 
,
1
З3+
53
— уз 
•••" (- (2л -
\)J
4395. Дана функция 
о (х)
= (тса —
х 1)'1. 
а) Убедиться, что имеют место равенства
[но <Г (-*)^?'"001.


б) Используя полученные равенства, разложить функцию з
(х)
в 
ряд
Фурье в интервале (— 
п,
тс).
в) Вычислить сумму ряда
1 _ ± 4 _ ± _ ± _ L . ( - 1 ) ” ' 1 

24 ‘ З4 
41 ^
• I 
п*
I •
§ 3. Метод Крылова. Гармонический анализ
В 
задачах 4396 — 4399 улучшить сходимость тригонометрических
рядов, доведя коэффициенты до указанного в скобках порядка /г.
§ 3. МЕТОД КРЫЛОВА. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 
285
4396*.
ОО
Чр 
я2
2
« » + 1
п=
1
~T*
II
w
4397*.
со
У
(
i f - 1 
" + 1
L i к 

П-
+ 1
п — 
1
- sin 
nx
1
4398*.
00
гг
4 - 1
2
1 c o s ™
п 
= 0
(k
=
4).
4399*.
со 
• п71
п
sm -g-
7

---- г
cos 
nx
L i
и- 
— 
I
n — 2
( k —  
5).
4400. 
Функции 
fi{x )
(/ — 1, 2, 3) заданы в интервале [0, 2тг) сле­
дующей таблицей:
X
0
6
3
л
~ T
2 л
T
5 л
~
T
л
I
t
,
(j
4 л
3
З л
2
5 л  
“7 Г
о
1 1л 
6
/ , (-V)
2 7
3 2
3 5
3 0
2 6
2 0
18
2 2
2 6
3 0
3 2
3 6
/ s (-Г)
0 ,4 3
0 .8 7
0 ,6 4
0 ,5 7
0 ,2 8
0
- 0 , 3 0
— 0 ,6 4
- 0 , 2 5
0 ,0 4
0 ,4 2
0 ,8 4
/ , 
U )
2 ,3
3 ,2
2,1
1 ,6
- 0 , 4
- 0 , 2
- 0 , 4
0 ,3
0 ,7
0 ,9
1 .2
1 ,6
Найти приближенное выражение этих 
Ф
у н к ц и й
в
виде тригонометри­
ческого многочлена второго порядка.


Г Л А В А XVI
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ *)
В е к т о р н о е п о л е , д и в е р г е н ц и я и в и х р ь
4401. НаМти векторные линии однородного поля 
А (Р) = ai
-f- 
bj-\- 
-f- 
ck,
где 
a, b
и 
с
— постоянные.
4402. Найти векторные линии плоского поля 
А (Р ) =

myi-\-inxj, 
где со — постоянная.
4403. Найти 
векторные 
линии поля 
А
(Р) 
=

m y i w x j I l k ,  
где со и 
Һ
— постоянные.
^4404. Найти векторные линии поля:
1) 
А
(Р) 
— (у -\-z)i — x j
— 
xk\
2) 
А
(Р) =
(z — у ) i
- |- (х —
z) 
j
-j- 0 ' —
х)
/г;
3 ) 
А (Р) = х (у- — гг) i — у (г
-
- |-
Х-) 
j
-|- г
(X-
- f
у 2) 1г.
В задачах 4405 — 4408 вычислить дивергенцию (расходимость) п 
ротор (вихрь) заданных векторных полей.
4405. 
А
(Р) =
x i

|
-уj-\-z k.
:
4406. 
А
(Р) = ( / -|- 
z0
-) І
-|- (.
г-
-1- 
Х - )
j
+ (я* + / )
k.
4407. 
А
(Р) =
x y z i
-j- 
xy~zj
-{- 
хугЧг.
J
4408. 
A
(P) = grad 
(x°-
- |- y 2 - |-
z*).
4409. Векторное поле образовано силой, имеющей постоянную вели­
чину 
F
и направление положительной оси абсцисс. Вычислить дивер­
генцию и вихрь этого поля.
( 4410. Плоское векторное поле образовано силой, обратно пропор­
циональной квадрату расстояния от точки ее приложения до начала 
координат и направленной к началу координат. (Например, плоское 
электрическое поле, образованное точечным зарядом.) Найти диверген­
цию и вихрь этого поля.
4411. Найти дивергенцию и вихрь пространственного поля, если 
силы поля подчинены тем же условиям, что и в задаче 4410. 
ч\ 4412. Векторное поле образовано силой, обратно пропорциональной 
расстоянию от точки ее приложения до оси 
Oz,
перпендикулярной


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   119   120   121   122   123   124   125   126   ...   146




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет