Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f


ветствующей производной. Тогда grad h = Vm; div_A=V



Pdf көрінісі
бет126/146
Дата06.02.2022
өлшемі9,73 Mb.
#80743
түріСборник задач
1   ...   122   123   124   125   126   127   128   129   ...   146
Байланысты:
Berman Sbornik

ветствующей производной. Тогда grad h = Vm; div_A=V.<4; rot ^4 = V X 
A.
При помощи оператора Гамильтона можно записывать и дифференциаль­
ные операции второго порядка:
Wu = div grad 
и\


Vw = rot grad «; V (V.4) = grad div 
A;
V(V 
x
A) —
 div rot 
A; V
 
x
(V 
x
A) —
 rot rot 
A.
4426. Доказать, что 
г
• Vr" 
= nrn,
где г — радиус-вектор.
4427. Доказать соотношения:
1) rot grad 
ti —
0
\
2) div r o t /1 = 0.
4428. Доказать, что
,. 

д-и 
, д!и
 - 
д-и
div grad 
a = W l
-
1-^5
+ — .
(Это выражение называется оператором Лапласа 
и обычно обозна­
чается А 
и.
При помощи оператора Гамильтона его можно записать 
в виде A« = (VV)» = V-;/.)
4429. Доказать, что
rot rot 
А
(Р) = grad div /1 (Р) — ДЛ (Р), 
где Д/1 (Р) = ДЛ vt -j- ДЛуу - р Д
А.к.
П о т е н ц и а л
4430. Векторное поле 
образовано постоянным вектором 
А.
Убе­
диться, что это поле имеет потенциал, и найти его.
4431. Векторное поле образовано силой, пропорциональной рассто­
янию от точки приложения до начала координат и направленной к началу 
координат. Показать, что это поле — консервативное, и найти потенциал.
4432. Силы поля обратно пропорциональны расстоянию точек их 
приложения от плоскости 
Оху
и 
направлены к началу координат. 
Будет ли поле консервативным?
4433. Силы поля пропорциональны квадрату расстояния точек их 
приложения от оси аппликат и направлены к началу координат. Будет ли 
поле консервативным?
4434. Векторное поле образовано силой, обратно пропорциональной 
расстоянию точки ее приложения от оси 
Oz, 
перпендикулярной к этой 
оси и направленной к ней. Показать, что это иоле консервативно, и 
найти его потенциал.
4435. Векторное поле образовано линейными скоростями точек 
твердого тела, вращающегося вокруг сиоей оси. Имеет ли это поле потен­
циал?


ГЛ. XVI. ЭЛЕМ ЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
289
4436. Силы поля задаются так: 
A ( P ) = f ( r )
- ( т а к называемое центри­
рованное поле). Показать, что потенциал поля равен
Г
а(х, у, z) = \ f (r )d r
(г = ]Л г 3 + / - -{- г 2).
а
Получить отсюда как частный случай потенциал поля сил притяже­
ния точечной массы и потенциал поля задачи 4431.
4437. Найти работу сил поля 
A{p)= xyi-\~yzj~\~xzk
при переме­
щении точки массы 
т
по замкнутой линии, состоящей из отрезка пря­
мой 
х

j—
z
= I, 
у ~
0, четверти окружности х 2 -f-

j - y - = r 1,^ = 0 и отрезка прямой
y - j- z =
1, x = 0 
z\
(рис. 
78) 
по направлению, указанному на чер­
теже. Как изменится величина работы, если дуга 
В А 
будет заменена ломаной 
ВОЛ
или отрезком 
В А
?
П о т е н ц и а л с и л ы п р и т я ж е н и я *)
4438. Дан в плоскости 
ОҢ
однородный стер­
жень 
А В
длины 2 / с линейной плотностью о, рас­
положенный на осп 
0
\,
симметрично относительно 
начала координат (рис. 
79).
а) Найти потенциал 
и(х, у )
стержня.
б) Показать, что проекции 
X
и 
У
силы притяжения, действующей 
на точку 
Р
массы 
т
с координатами £ 
= х, т ]= у ,
равны
1
Рис. 78.
Х — т/го(рл 
рв
У __ __ткЪ (СВ . АС
у \РВ + РА
а результирующая сила 
R
по величине равна 
R =
^ ~ - sin ^ (а —
|- (3),
где 
к
— постоянная тяготения (С — проекция точки 
Р
на ось 
0\,
а —
угол 
АРС,
{3 — угол 
В PC).
4439. Найти 
потенциал окружности 
х
1
 
у
'1
 = R'1,
: = 0 в точке 
(R,
0, 2
R), 
если плотность в каждой точке равна 
абсолютной величине синуса угла между 
радиус-вектором точки 
и осыо абсцисс.
4440. Найти потенциал первого витка 
однородной (плотность о) винтовой линии 
х = а
cos 
t, у — a sint, z — bt
в начале 
координат.
4441. Найти потенциал однородного 
квадрата со стороной 
а
(поверхностная плотность о) в одной из его вершин.
*)


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   122   123   124   125   126   127   128   129   ...   146




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет