Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

4372. Разложить в ряд Фурье функцию, равную — 1, в интервале 
(— тс, 0) и 1 в интервале (0, it).
TZ 
X
4373. Разложить в ряд по синусам функцию 
У —
— у в интер­
вале (0, 
1
Г).
282 
ГЛ. XV. ТРИГОНОМ ЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
4374. 
Используя результаты задач 
4 3 7 2
и 
4 3 7 3 , 
получить разлож е­
ния для функции 
у — х
и 
у =
' - 
~
. Указать интервалы, в которы х 
полученные формулы будут справедливы.
4375. Разложить функцию 
у =
-^ — у в интервале (0, тс) в ряд по 
косинусам.
4376. Разложить функцию 
у = х
‘2
в ряд Фурье: 
I) в интервале 
(— тс, 
к), 2)
в интервале (0, 2тс) (рис. 72 и 73).

§ 2. РЯДЫ Ф У РЬЕ
283
При помощи полученных разложений вычислить суммы рядов:
В задачах 4377 — 4390 разложить в ряд Фурье данные функции 
в указанных интервалах.
4377. Функцию 
у — х
1
в интервале (0, тс) в ряд синусов.
4378. Функцию 
у = х л
в интервале (— тс, тс).
4379. Функцию 
f{x ),
равную 1 прп — т с < \ г < ^ 0 и равную 3 при
4380. Функцию 
fix ),
равную 
1 
в интервале (0, 
Һ)
и равную 0 
в интервале (Л, тс), в ряд косинусов (0<^Л < ^тс).
4381. Напрерывную функцию 
fix ),
равную 1 при *
= 0, равную 0
в интервале (2/z, тс) и линейную 
в интервале (0, 2
Һ),
в ряд косину­
сов (0 < / г < тс/2).
4382. Функцию 
у = \х\
в интервале (—
I, I).
4383. Функцию 
у ~ е х
— 1 в интервале (0, 2тс).
4384. Функцию 
у = ех
в интервале (— /, /).
4385. Функцию у = cos я * в 
интервале (— тс, тс) 
(а — не целое
число).
4386. Функцию у = sin 
ах
в 
интервале 
(— тс, 
тс) (а — ие целое
4387. Функцию j/ = sinaAT 
( а — целое число) в интервале (0, тс)
в ряд косинусов.
4388. Функцию 
у
= cos 
ах
(а — целое число) в интервале (0, тс)
в ряд синусов.
4389. Функцию 
у =
sh 
ах
в интервале (— тс, тс).
4390. Функцию 
у
= ch 
х
в интервале (0, тс) в ряд косинусов и ряд
синусов.
4391. Разложить в ряд Фурье функцию, график которой изображен 
на рис. 74.
o
o
o
.
число).
-3 
- 2
 
- 1
 
О
3
Л-
Рис. 74.

284
ГЛ. XV. ТРИГОНОМ ЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
4392*. Разложить в ряд Фурье функцию, график которой изобра« 
жен на рис. 75.
4 3 9 3 * . Разложить в ряды Фурье функции, графики которых приве­
дены на рис. 76 и 77.
4394. Разложить функцию 
у — х ( ъ
—
х)
в ряд синусов в интер­
вале (0, тс). Использовать полученный результат для нахождения суммы 
ряда
1 
1 
, 
, ( - I)"-1 
,
1
З3+
53
— уз 
•••" (- (2л -
\)J
4395. Дана функция 
о (х)
= (тса —
х 1)'1. 
а) Убедиться, что имеют место равенства
[но <Г (-*)^?'"001.

б) Используя полученные равенства, разложить функцию з
(х)
в 
ряд
Фурье в интервале (— 
п,
тс).
в) Вычислить сумму ряда
1 _ ± 4 _ ± _ ± _ L . ( - 1 ) ” ' 1 
■
24 ‘ З4 
41 ^
• I 
п*
I •
§ 3. Метод Крылова. Гармонический анализ
В 
задачах 4396 — 4399 улучшить сходимость тригонометрических
рядов, доведя коэффициенты до указанного в скобках порядка /г.
§ 3. МЕТОД КРЫЛОВА. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 
285
4396*.
ОО
Чр 
я2
2
« » + 1
п=
1
~T*
II
w
4397*.
со
У
(
i f - 1 
" + 1
L i к 
} 
П-
+ 1
п — 
1
- sin 
nx
1
4398*.
00
гг
4 - 1
2
1 c o s ™
п 
= 0
(k
=
4).
4399*.
со 
• п71
п
sm -g-
7
—
---- г
cos 
nx
L i
и- 
— 
I
n — 2
( k —  
5).
4400. 
Функции 
fi{x )
(/ — 1, 2, 3) заданы в интервале [0, 2тг) сле­
дующей таблицей:
X
0
6
3
л
~ T
2 л
T
5 л
~
T
л
I
t
,
(j
4 л
3
З л
2
5 л  
“7 Г
о
1 1л 
6
/ , (-V)
2 7
3 2
3 5
3 0
2 6
2 0
18
2 2
2 6
3 0
3 2
3 6
/ s (-Г)
0 ,4 3
0 .8 7
0 ,6 4
0 ,5 7
0 ,2 8
0
- 0 , 3 0
— 0 ,6 4
- 0 , 2 5
0 ,0 4
0 ,4 2
0 ,8 4
/ , 
U )
2 ,3
3 ,2
2,1
1 ,6
- 0 , 4
- 0 , 2
- 0 , 4
0 ,3
0 ,7
0 ,9
1 .2
1 ,6
Найти приближенное выражение этих 
Ф
у н к ц и й
в
виде тригонометри­
ческого многочлена второго порядка.