§ 4. Л И Н ЕП Н Ы Е УРА ВН ЕН И Я

5) 0 ,1 
е
~ 2і5а' — 25 sin 2,5*; 
6
) 2 9 * sin *; 7) 1 ОО* • 
е~х
cos *;
8
) 3 • ch 
*.
4277. 
у "
— 4_/ -J- 
А у —
/ (*), если / ( * ) pan па:
1) 1; 2) 
е~х\
3) Зе-Д; 4) 2 (sin 2 * —
{—
*); 5) s in * c o s 2*; б) sin3* ;
7) 
8
(*" -j- 
o-x
- |- sin 2*); 
8
) sh 2*; 9) sh * -j- sin *;
10
) 
ex
— sh (* — 
1
).
4278. 
y "
- |-
y = f
(*), если / ( * ) равна:
1) 2 * 3 — * -|~ 2; 2) — 8 c o s 3 * ; 3) co s* ; 4) s i n * —
2e~x;
5) c o s * c o s 2*; 
6
) 2 4 sin4* ; 
7) c h * .
4279. 5У' — 
6
/ -\-oy — f
(*), если / ( * ) рашіа:
з 
з
1) 5 
* ’•
2) sin — A'; 
3) 
c~x
-j- 2 * a — * — 2; 
4) e 
5
V- c o s * ;
О
5) 
e
5
* • sin 
4-
x; 
6
) 13 
ex
• ch *.
0
4280. 
f
-j
- у
+ ctg
2
* = 0. 
4281. 
f —
2
y ’ + y = -— j .
4382. 
y rr
— У = /( * ) , если / ( * ) равна:
1
) ^ L _ .
2) 
e-x V
1 — с41'; 
3) 
elx
cos 
e
x .
1 L'
В задачах 4283 — 4287 найти частные решения уравнений, удовлет­
воряющие 
указанным начальным условиям.
_
_з
4283. 4У ' -j- 1 б у -J- 1 
оу — Ае
2
л; 
у
|л- =
0
= 3, 
у \х
=() = — 5,5.
4284. 
у "
— 2 у -}- 
10у
= 1 О
* 3
-}- 18* - |-
6
; 
у
| v =
0
= 1, 
у
|л- == о = 3,2
4285. У ' — У = 2(1 — *); 
у\х = 0=
1, 
УЦ-=.о = 1-
4286. 
у "
— 2у =
ev
(* ‘2
-j- * — 3); 
у \х
=
0
== 2, 
у |л- = „ = 2.
4287. 
у " 
у
-]- sin 2 * == 0; 
у |_v=3eK = у | л. = _ = 1.
4288*. Показать, что частное решение j? уравнения 
а^у" 
ау'-\- 
-\-а%у = Аерх (а0, а\,
я 2— постоянные коэф ф ициенты ,/; и Л —действи­
тельные или комплексные числа) имеет вид 
у
=
с,)х,
если 
р
не
является корнем характеристического уравнения ф (г) =
сі\Г
- |-
-{- 
а о =
0
; 
у — с!)
V) если /? — простой корень характеристического
уравнения; 
у — - '}х-^ ерх,
если 
р —
двойной корень характеристического 
уравнения.
В задачах 4289 — 4292 найти общие решения уравнений Эйлера.
4289. 
х 1/ '
— 9 * У —
f- 2
1
у =
0. 
4290. 
х-у"
- |-
ху
-{- 
У
=
х.
.. 
t
2/2 
ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Е УРАВНЕНИЯ

§ 
І.
Л И Н ЕЙ Н Ы Е УРА ВН ЕН И Я
273
4291. 
у
" — 
—
= К
J
X
1
л*- 
X
4292. лг
9
У ' — 2
ху'
-j- 2
у
-]- 
х
—
2хл =
0.
4293. Если ось вала турбины расположена горизонтально и если 
центр тяжести диска, насаженного на вал, не лежит па оси, то прогиб 
у 
оси «ала (рис. 71) при его вращении удовлетворяет уравнению
~<3
+ (й 5 “ “ 5) 
= s cos Ы
+ "**■
где 
т
— масса диска, а — постоянное число, зависящее от рода закреп­
ления концов 
А
и 
В 4
,
(о— угловая скорость вращения, 
е —
эксцентриси­
тет центра тяжести диска. Найти об­
щий интеграл этого уравнения.
4294. Материальная точка массы
1 г
отталкивается вдоль прямой от 
некоторого центра с силой, пропор­
циональной ее расстоянию от этого 
центра (коэффициент пропорциональ­
ности равен 4). Сопротивление среды 
пропорционально скорости движения (коэффициент пропорционально­
сти равен 3). В начале движения расстояние от центра равно 1 
см, 
а скорость — нулю. Найти закон движения.
4295. Частица массы 
1
г движется по прямой к точке 
А
под дей­
ствием некоторой силы притяжения, пропорциональной расстоянию ее от 
точки 
А.
На расстоянии 1 
см
действует сила 0,1 
дины.
Сопротивление 
среды пропорционально скорости движения и равно 0,4 
дины
при ско­
рости 1 
см/сек.
В момент 
t =
0 частица расположена на расстоянии 
10 
см
от точки /1 и скорость ее равна нулю. Найти зависимость рас­
стояния от времени и вычислить это расстояние для 
t — Ъ сек
(с точ­
ностью до 
0,01
см).
4296. Материальная точка массы 
т
движется по прямой из 
А
в 
В  
под действием постоянной силы 
Г.
Сопротивление среділ пропорционально 
расстоянию 
тела от 
В
и в 
начальный момент 
(п 
точке 
Л) 
равно
f ( / Ғ). 
Начальная скорость точки равна нулю. Сколько времени точка будет 
двигаться из 
А
в 
В ?
(
А В — а).
4297. Тело массы 200 
г
подвешено на пружине и выведено из 
состояния покоя вытягиванием пружины на 
2
см,
после чего отпущено 
(без начальной скорости). Найти уравнение движения тела, считая, что 
сопротивление среды пропорционально скорости движения. Если тело 
движется со скоростью 
1
см/сек,
то среда оказывает сопротивление 
0,1 Г; сила напряжения пружины прп растяжении ее на 2 
см
равна 
10
кГ.
Весом пружины пренебрегаем.
4293. Деревянный цилиндрический чурбанчик (5 = 100 
см'2, Һ —
20 
см, 
^ = 0,5 
г/смл)
полностью погружен в воду п отпущен без начальной 
скорости. Считая, что сила трения пропорциональна высоте погруженной 
части, выяснить, каков должен быть коэффициент пропорциональности /.*,
Цсшпр тяжести диска •------
Рис. 71.

274
ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Е УРАВН ЕН И Я
чтобы в результате первого подъема над поверхностью воды пока­
залась ровно половина чурбанчика.
Сколько времени (fi) будет продолжаться первый подъем?
Каково будет уравнение движения при первом подъеме?
4299*. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой ско­
ростью со вокруг перпендикулярной к ней вертикальной осн. В началь­
ный момент на расстоянии 
Оо
от осп внутри трубки находился шарик 
массы 
т .
Считая, что в начальный момент скорость шарика относительно 
трубки была равна нулю, найти закон движения шарика относительно 
трубки.
4300. 
Решить предыдущую задачу в предположении, что шарик 
прикреплен к точке 
О
пружиной. Сила действия пружины на шарик 
пропорциональна деформации пружины, сила 
/г дин
вызывает изменение 
длины пружины на 1 
см.
Длина пружины в свободном состоянии равна о0.
У р а в н е н и я в ы с ш и х п о р я д к о в
В задачах 4301 — 431 1 найти общие решения уравнений.^
4301. У " 4 - 9 у =
0
. 
4302. y lv> — 1 ЗУ' - f Збу =
0
.
4 303. У 1 v>
= 8у " — 1 бу. 
4304. У 1 v>
= 1 бу.
4305. У " —
1
Зу' —
12
у = 0. 
4306. у " ' — Зу" - f ЗУ — у = 0.
4307. y IV)4 - 2 y " - j - y ' = 0. 
4308. y « )= y (* -2 > .
4309. y d V ) 4 - y = 0 .
4310. 64ytvni> _ j_ 4 8 y v i)_ |_ 12y i v ) _ |_ y '= = 0 .
4зп.у">+^у“-"+ 
у“_ 2|+ ...+ у у -|- j’= ° ■
4312. У " = — у'; 
у
|*=о = 2, У Ц-=о = 0, 
f
|* = о = — 1.
4313. У ү> = у ' ;
у  
|.v = о = 0 ,
У \ х=
о = 1 ,
У '|л- = о = 0,
у'" 
l.v =
0
=
1
, 
y (lv> |, = 
0
=
2
.
В задачах 4314 — 4320 составить общие решения неоднородных урав­
нений, находя их частные решения либо подбором, либо .методом вариа­
ции 
произвольных постоянных.
4314. у '" — 4
у "
5у ' — 2у =
2х
- f 3.
4315. У " — Зу' 
-\-
2у — е~х (4х~
- |-
4х
— 
10
).
4316. y ,v> -f- 
8
у ' —
(—
1 бу = cos 
х.
4317. У 1V> -j- 
2
а
9
У ' -j- 
a*y —
cos 
ax.
4318. y (V) 
У ”
=
x
1
—
1
.
4319. У 1ү) — 
y — xe
v -|- cos 
x.
4320. y 1V) — 2У ' - J - y =
8
(e*
-}- 
e~*)
-f- 4 (sin 
x
-f- cos 
x).

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: