§ 3. У равн ен и я в т о р о го и вы сш и х порядков

266 
ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Е УРАВН ЕН И Я
4179. У " = У ( у — 2 
j/ ~ ‘
І - 4 ) .
4180. (^ + а)У' + А-00г= У
4181*. 
у / / '
 = 00» + ( / ? .
4182. х у " —
O
'")2
— У = О.
В задачах 4183 — 4188 решить уравнения при помощи подходящей 
подстановки: 
уу' = р, (У )*= р , х у = р , ^ ,— Р
11
т- п-
4183. 
хуу"-\- х ^ )- = Ь 'У ’
4184. 
Ху " = / ( е У —
1
).
4185. 
у У + (У?=*х.
 
4186. y ' + i y — -£ = 0.
4187. Д ^ - ( 4 ? - ^ = ° ' 4188. 
y f = / { 2 V W — A
В задачах 4189 — 4199 найти частные решения уравнений при ука­
занных начальных условиях.
41S9. 
у"(х--\-
1
) =
2ху'\ 
у
|л* =т-= о== 1, 
У |л - = о = 3.
4190. 
х у '
—
}- 
х
0 ' ) '
У ==-
0> 
_У|лг»=
2
:==Л 
У
|л-=~
2
=
1
*
4191. 
У
= — -{- у ; 
У
U
=2
= О, 
У
\х
=
2
= 4.
4192. 
2
/ ' = 3 / ;
—
2 = 1 .
У|*=
__
2
= — 
1
.
4193. у у " =
ОО2 
— (У )3; 
j' U
= 1
= 1, 
У U
= 1
= — і.
4194. 
у
У = —
1
; 
3' 
1
.V = , =
1
, 
у
1
.V =
1
=
0
.
4195. / —
у У = 1; 
у\х=
0
 = V r2, 
у'\х^ = Щ - .
4196. 
у "
= e--v; 
у
U =о = О, 
у |л. =0 = 1.
4197. 2 0 0
2
= У ' 0 ' — 
1
); 
У
|.v = i =
2
, 
У
U - i = — 
1
.
4198*. 
х'
1
у "
= 0 ' — 
xy'f\
^ |.v = , = 1, 
y |.v =
1
= 1.
4199. 
у " = ху'
 -j-
у
-{- 1; 
у | л.=0= 1 , 
у | л.=0 = 0.
4200*. Какая линия обладает тем свойством, что радпус кривизны
в любой ее точке пропорционален длине нормали? Принять коэффи­
циент 
пропорциональности 
/г = — 1
, 
— 1, — 2, -|- 2.
4201. Найти линию, для которой проекция радиуса кривизны па 
ось 
Оу
есть величина постоянная, равная 
а.
4202. Найти линию, проходящую через начало координат, у кото­
рой отношение площади треугольника 
М Т Р
(рис. 70), образованного 
касательной в какой-нибудь точке /И линии, ординатой этой точки 
М Р  
н осыо абсцисс, к площади криволинейного треугольника 
О М Р
равно
постоянному числу 
k
4203. Найти линию, длина дуги которой, отсчитываемая от некото­
рой 
точки, 
пропорциональна 
угловому 
коэффициенту 
касательной 
и конечной точке дуги.

§ 3. УРАВН ЕН И Я ВТОРОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
267
4204. 
Точка массы 
т
вертикально брошена вверх с начальной ско­
ростью г'о. Сила сопротивления воздуха равна 
kv\
Поэтому, если при­
нять вертикаль за ось 
Оу,
то прп движении вверх имеем:
т
d2y
dt
'-1
а при падении:
сГ-у 
т -гр ■
dt-
—
т о
т о
kv'\
kv\
где 
v = ~ ..
Найти скорость, которую будет иметь тело в тот момент,
коі'да оно падает на землю.
4205. Тонкая, гибкая и нерастяжимая нить подвешена за оба конца. 
Какую форму в равновесии примет ннгь под действием нагрузки, равно­
мерно распределяющейся по проекции 
нити 
на горизонтальную плоскость?
(Весом нити пренебрегаем.)
4206. Найти закон прямолинейного 
движения материальной точки массы 
т , 
если известно, что работа силы, дей­
ствующей в направлении движения и 
зависящей от пути, пропорциональна 
времени, протекшему с момента начала 
движения. Коэффициент пропорциональ­
ности равен 
к.
4207*. Луч света из воздуха (показатель преломления 
т 0)
падает 
под углом а
0
с вертикалью в жидкость с переменным показателем пре­
ломления. Последний линейно зависит от глубины и постоянен в пло­
скости, параллельной горизонту; на поверхности жидкости он равен 
/пъ 
а па глубине 
Һ
он равен 
т».
Найти форму светового луча в жидко­
сти. (Показатель преломления среды обратно пропорционален скорости 
распространения света.)
Ч а с т н ы е с л у ч а и у р а в н е н и й б о л е е в ы с о к и х
п о р я д к о в
В задачах 4208 — 4217 найти общие решения уравнений. 
4208. У " = —■. 
4209. 
yf” =
cos 
2х.
4210. _yx = еол‘. 
4211. 
x y r" =
( У ? -
4212. 
x y
v 
=
У v. 
4213. 
f
= (
y " f .
4214. У У " = 3 (
y " f
. 
4215. 
y f — y ’y " =
0.
\2
16. 
/ "
[ 1 -[- O ')2] = 3У С
У’У-
4217. 
( У Г
— У У " 
= [ ~ ) \

268
ГЛ. XIV. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И АЛ ЬН Ы Е УРА ВН ЕН И Я
П р и б л п ж е и н ы е р е ш е н и я.
4218. При исследовании колебания материальной системы с одной 
степенью свободы встречается дифференциальное уравнение вида 
у " —  
= f\ (х)
4 - А ( У) -І- А (
у').
Решить это уравнение графически, если:
,> / ,
Z)
 
=
0
, / , о-) = -
1
 
Г у ,
/ ,
00
=
0
,
5
/ „ , U - =
/ 
| ,=0
=
0
;
2
) / ,
(х) —
— Л', 
А О ’) = 0, 
fa
0 0
==
0
,
1
/
0
,
1
/ '*
.1
У
|л- 
=0
= У \х
=0
= I •
4219. / ' 
— УУ
—■
-V-; 
у
|л- ^ о = 1, У U =о = 1.
1
) Решить данное уравнение графически.
2) Найти несколько первых членов разложения решения в степен­
ной ряд.
4220. Найти шесть первых членов разложения в ряд решения диффе­
ренциального 
уравнения 
У ' 
= ~ —
удовлетворяющего начальным
условиям 
у
|Л- *
1
=
1
, 
у '
(.v =
1
=
0
.
4221. Найти в форме степенного ряда частное решение уравне­
ния 
у " = х$\пу,
удовлетворяющее 
начальным 
условиям 
_у|А._, =
0
,
У |д._, = ^ . (Ограничиться шестью первыми членами.)
4222. Найти в форме степенного ряда частное решение 
y — f (x )  
уравнения 
у " = хуу',
удовлетворяющее начальным условиям / (
0
) =
1
, 
f
(0) =
1
. Если ограничиться пятыо первыми членами разложения, то 
будет ли этого достаточно для вычисления/ ( — 0,5) с точностью до 0,001 ?
4223. Найти семь первых членов разложения в ряд решения диффе­
ренциального уравнения 
уу"-\-у'-}-у =
0
, 
удовлетворяющего началь­
ным условиям 
у
|Л=гг0= Ь 
У
j.v=o =
0
. Какого порядка малости будет 
при 
х
—> 0
разность 
у
— 
(2
— 
х
— 
е~х)7
4224. Найти 12 первых членов разложения в ряд решения диффе­
ренциального уравнения 
у
4
- р
у у '
— 
2
=
0
, удовлетворяющего начальным
условиям 
у \х
=0
= 0, 
у ’
|д. 
=
0
. Вычислить интеграл ^ 
у dx
с точностью
о
до 0,001. Вычислить У j.v=o,г>
с точностью до 0,00001.
4225*. Электрическая цепь состоит их последовательно соединенных 
индуктивности L = 0,4 
генри
и электрической ванны. В ванне находится 
литр 
воды, 
подкисленной небольшим количеством серной кислоты. 
Вода 
разлагается током, прп этом меняются концентрация, а следовательно и 
сопротивление раствора в ванне. Напряжение на клеммах поддержи­
вается постоянным (20 
в).
Количество вещества, выделяющееся при 
электролизе, пропорционально току, времени и электрохимическому 
эквиваленту вещества (закон Фарадея). Электрохимический 
эквивалент 
воды равен 0,000187 
г/кулон.
Сопротивление раствора в начале опыта 
/?„ =
2
ом,
начальный ток 10 а. Найти зависимость (в форме степенного 
ряда) объема воды в сосуде от времени.
4226*. Электрическая цепь состоит из последовательно соединен­
ных индуктивности L = 0,4 
генри
и электрической ванны, п ер вон ач ал а

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: