Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

33. 
а — Y\
- f (lg sin 
х)3.
 
34. 
v —
sin (1 4 - 
х).
35. 1) 
у
 =
Vя,
a = s i n x ; 2) 
y — Y v ,
v= u'J, u 
= x-}-
1; 
3> 
y = l o - p ,
v 
=
\gx] 4) y — u
3, 
и
 
=
sin 
v, v
 
=
2 ^ 4 -1 ; 
5) 
у
 = 5 " ,
u 
=
vs, 
v ~ 3 x +
 
I.
36. 
a)
— А ; б) 0; в) sin 12; 
r) 
— s in
2x
cos
8
2x; д) x®—3 х
7
4 -3 х
5
—2xs4-x:
e)
 
0
; ж) sin 
(2
 sin 
2
x).
38. 1) 
±
V
1— x a; 
2) 
y — + ~ Vx~
 — 
a~', 3) 
у = у /Га
'>—x 3;
. v 
С
 
l o g o 5
10 000 
.
4 )
у —
—
;
5 )
y =
~
^
- ;
6 )
, y = —
-- --------t l
7) y = i
0
g
2
(x
3
4 - 7 ) — log
2
(x
2
 — 2) — x; 
8
) у = Arccos
I 
ДГ
39’ . Пусть x > 0 и з^ > 0, тогда 
y + y —
 x — x = 0; 
y = x
(график — бис­
сектриса первого координатного угла). Пусть х > 0 и > ' <
0
, тогда 
у
 — 
у — х
__
— х =
0
; х =
0
(график — отрицательная полуось 
Оу).
Пусть х < 0 н . у > ( > ,
тогда 
у
4
-у — х
4 - х = 0; >» = 0 (график — отрицательная полуось 
Ох).
Пусть
х
< 0
и у <
0
, тогда 
у
 — 
у
 — х
4
*^ =
0
 — тождество (график — множество всех
внутренних точек третьего координатного угла).
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ ! 
293
X
\
2
3
4
5
б
У
1
1
2
1
6
1
24
1
120
1
720
I
п 1 2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13
14
15
16
17
18
19
20
и 0 1 2 2
3
3
4 4
4
4
5
5
6
6
6
6
7
7
8
8
42.
п 1 2
3 4
5
6 j 7
8
9
10 11 12
13
14
15
16 17
18
19
20
и 0 0 0 1 0 2 0 2 1 2
0
4
0
2
2
3
0
4
0
4
43. Если 
f(x )
 — вес отрезка 
AM,
т о : / ( х ) = 2х п р и О г ^ х ^ І , / ( х ) = >
=
2
- |- -
2
- ( х — 1) при 1 < х ^ 3, / (х) = х 4 - 2 при 3 < х ^ 4 . Функция опреде­
лена при 0 < ^ х ^ 4 .
44. 
При O s c x s g /? 
S — n (2 R
— x ) s; 
при 
R ^ x ^
 ЗА* 
S —
k
R~\
прм
HR ^ х
 ^
4R S =
 те 
(GRx
 — x s — 
8
R-).
Вне интервала [0, 4/?j функция 
6
' = / ^ х )
не определена.
— т ) ;
46. 
V ‘\R*
 - х»; 
0 < л <
'IR.
45. 
V=zizx[Rs

294
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ !
5
47. 1) л г > 0 ; 2 ) а > — 3; 3) л 
ү
 
4) — оо < х ^ 0; 5) вся числовая
ось, кроме точек .v = ± 1; 
6
) вся числовая ось; 7) не определена только при 
а =
0
, х = —
1
, дг= 
1
; 
8
) вся числовая ось, кроме точек а
=
1
и х = 2\
9) — 1 sg: л' 
« 5
1; 10) — со < л- < 0 и 4 < х < оо; 11) — оо < х 
1 и 3 
х < оо; 
в интервале (
1
, 3) функция не определена; 
1 2
) —ос<л
' < 1
и 
2
<л'<со; в интер­
вале [1, 2] функция не определена; 13) — 4^л*г^4; 14) 1 ^ л '^ 3 ; 15) O ^ x s S l;
16) — i-rsC A 'gs А ; 17) O s g x s S - i - ;
18) 
-
1
^
1
; 
19) 
— со <
а
<
0
;
2 0
) пе имеет смысла; 
2 1
) 1 ^ Л '^ 4 ; 
2 2
) 
2
Ая •< л: <с (2k -f-
1
) 
где k — целое 
число; 23) 2к-к ^ х sg (2/е 4* 1) л, где k — целое число; 24) 0< л'< 1 и 1<л'<оо.
48. 1) — 2 sg л' < 0 и 0 < х < 1; 2) — 1 s i х ^ 3; 3) 1s^a<4; 4) у < х < 2
и 2 < л '< о о ; 5) область определения состоит только из одной точки л'= 1 ; 
б) — 1 < х < 0 
и 1 < х < 2; 2 < х <
оо; 
7) 3 — 2тс < х < 3 — я; 3 < х ^ 4;
8
) —4 
,v 
— я и 0 sg л: sg я; 9) 2/гтг < х < (2/г -f 1) я, где k — целое число;
10) 4 < х < 5 и 
6
< а < о о ; 11) нигде не определена; 12) — І с д г ^ І и 
2 *< л'< Я ; 13) вся числовая ось; 14) 4 
а
6
; 15) 2<а'-<3.
49. I) Да; 2) тождественны на любом интервале, не содержащем точку 
а
= 0; 3) тождественны на интервале |0, 
оо); 
4) тождественны на интервале 
(
0
, оо).
50. 1) Например, у = У А — х*’, 2) например, у = —
■
* ■
■
■
; 
3) напри-
х у 4 — х*
_____
1
, 
1
, 
1
МСР’ * 
х — 
2
л' — 3 
х — 
4 *
51. 
1) 1 < х ^ 3 ; 2) 0 ^ A '< -j-o o для двух ветвей и 1 ^
а
- < -J- со для 
двух других ветвей.
52. — оо <с 
х 
<[ оо.
53. 1) j ’ > 0 при л'> 2 ; у  < 0 при д-<2; у — 0 при а = 2; 2) у  > 0 при
а < 2 и х Ъ > 3 ;у < 0  при 2 < а < 3 ; у — 0 при х х = 2  и xs = 3; 3) >’> 0
в интервале (— 
оо, оо), 
функция нулей не имеет; 4) _у>0 в интервалах (0, 1), 
{
2
, 
-|-со ); 
з
» < 0
в интервалах (—
оо, 
0
) и (
1
, 
2
); у
=
 
0
при а, =
0
, 
a s =
1
,
а
8
= 2; 5) з>>0 при х ф  0; ді = 0 при а = 0.
54. 1), 3), 
8
), 10), 11), 15) — четные; 5), 
6
), 9), 12), 14), 17) — нечетные;
2), 4), 7), 13), 16) — ни четные, ни нечетные.
55. 1) 
у =
(х- + 2) + Зх; 
2) 
у
=
( 1
_ х*) +  ( - * s - 2л'й);
3) у 
— (sin 2х -f lg х) 
cos — .
пх
-1—
(
2
х
______________________
(
1
~х
57. 1) 
у = — ү — +
2 ;
„ ( 1 + * ) ■ " + ( ! - л : ) 'и , (] -t-jr)i»« — (1 -Л -)'Ч
2
2
59. Функция 
1
), 5), 
6
), 
8
). 60. Графики см. на рис. 80 и 81.
61. 1) 
В
интервале (— со, 0) убывает, в интервале 
(О, 
4-со) возрастает;
2
) в интервале (— со, 
0
) убывает, в интервале (
0
, + оо) сохраняет постоянное
значение — нуль.
62. 
1
) Наибольшее =
1
, наименьшее = 0; 2) наибольшее =
1
, наимень­
шее = — 1; 3) наибольшее = 2, наименьшее = 0; 4) наибольшего значения не 
имеет, наименьшее =
1
.
65. 1 = 4 - . 
6 6
. а) р = 0.727Л; б) 10,5 г/c.u8; в) 36,4 см. 67. /?= -^- да.
о 
40
68. 1) 
у
=
~
а + 4; 2) 
у
= 1,1 95а + 1,910; 3
) у = —
0,57а 
+
8,63.
69. а) 1/= 100 + 0,35*; б) 100 см\ 70. 
6
'= 16,6 4-1,3At. 71. И = 1 2 -0 ,7 *.

ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ I
295
72. Д v =
С).
73. Ду = — G. 74. Лл' = 4.
75. Конечное значение аргумента л% = 2
а.
76. д- = 3; при графическом решении ищется точка пересечения графика
функции _>' = а(л‘) и примой 
у = 2х —
 4.
78*. Следует обратить внимание на то, что из всегда справедливого соот­
ношении 
|/(jc) +
о
(л*) | sg |/(jc) I 
~\~
I 
о (х )
| в условии задачи исключен знак
равенства. Строгое неравенство будет иметь место при 
х
< 3 и 
х
4. Можно
решить задачу путем построении графиков функций Ф (*) = | / (а*) + <р (Jt) | и
Ф (х) =  | / {х) | + | 
9
(х )'
79. 
х
2. См. указание к решению задачи 78*.
О 
на интервале (—
со; —
3);
-г г
х ~
“Ь 5 > 
> 
[ — 3 ; 3 ] ,
_
о
83. 1) _у =
1 а-
9
_2 
3 
7
- - при
[
3
; 
6
].
17
Т '
* » “
4
при
дг = - т ; 3) 
у-
■
■
5

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: