ГЛ. XVJ. ЭЛЕМ ЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
291
кающей из
замкнутого контура
L,
окружающего начало координат,
в единицу времени (ноток) и количество жидкости, протекающей в еди
ницу времени вдоль этого контура (циркуляция). Как изменится резуль
тат, если начало координат лежит вне контура?
4455. Потенциал поля скоростей частиц
текущей жидкости равен
и
= ?,
где <р = a r c t g - . Определить поток и циркуляцию вектора вдоль замкну
того контура
L.
4456. Потенциал поля скоростей частиц текущей жидкости равен
и ( х , у ) = х ( х '
— Зу2). Вычислить количество жидкости, протекающей
за единицу времени через отрезок прямой линии, соединяющей начало
координат с точкой (1, 1).
П о т о к и ц и р к у л я ц и я ( п р о с т р а н с т в е н н ы й с л у ч а й )
4457.
Доказать, что поток радиус-вектора
г
через любую замкнутую
поверхность равен утроенному объему тела, ограниченного этой поиерх-
ностыо.
4458. Вычислить поток радиус-вектора
через боковую поверхность
круглого цилиндра (радиус основания
R,
высота
Н),
если ось цилиндра
проходит через начало координат.
4459. Пользуясь результатами задач 4457 и 4458, установить, чему
равен поток радиус-вектора через оба основания цилиндра предыдущей
задачи.
4 4 СО. Вычислить поток радиус-вектора через боковую поверхность
круглого конуса,
основание которого
находится на плоскости
хОу,
а ось совпадает с осыо
Oz.
(Высота конуса 1, радиус основания 2.)
44G1. Найти поток вектора
А
(Р)
= x yi -\-yzj-\-xzk
через границу
части шара
х
1
- |-
у*
-f-
z~
= 1, заключенной в первом октанте.
4462*. Найти поток вектора
A ( P ) = y z i - \ - x z j x y k
через боковую
поверхность
пирамиды с вершиной в точке
S (
0
,
0, 2), основанием кото
рой служит треугольник с вершинами 0 ( 0 , 0, 0),
А (2,
0, 0) и 5 ( 0 , 1, 0).
4463. Вычислить циркуляцию радиус-вектора вдоль одного витка
АВ
винтовой линии
х — a cost, y = as\ut, z = bt,
где
А
и
В
— точки,
соответствующие значению параметра 0 и 2тс.
4464. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью m
вокруг оси
Oz.
Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль
окружности
радиуса
R,
центр которой лежит на оси вращения, а плос
кость окружности перпендикулярна к оси вращения в направлении вра
щения.
4465*. Вычислить поток вихря поля векторов
А ( Р ) — y i -\-z j x k
через поверхность параболоида вращения
- = 2 ( 1 — л " — У ),
отсеченную плоскостью
z =
0.
10*