Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ 3. П РИ М ЕН ЕН И Е ВТОРОП ПРОИЗВОДНОМ
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 3. П РИ М ЕН ЕН И Е ВТОРОП ПРОИЗВОДНОМ 03 1296. у = In (1 -j- Х-). 1297. y = ^ - h i j (a > 0). 1298. y = a — V ( x — bf. 1299. у = 1300. y = x* (12 In x — 7). x4~ I 1301. Показать, что линия y = xi ' } имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой. 1302. Показать, что точки перегиба линии 3/ = jvt sin лежат на линии у \ 4 -|- дг") = 4х2. sin X 1303. Показать, что точки перегиба линий у = —— лежат на линии у"(4 -(- л:*) = 4. 1304. Убедиться в том, что графики функций у — ±е~х и у = e~-vsin х (кривая затухающих колебаний) имеют общие касательные в точках перегиба линии у = ё~х sin х. 1305. При каких значениях а и b точка (1, 3) служит точкой пере гиба линии у = ахг -|~ Ьх~? 1306. Выбрать а и р так, чтобы линия х*у -f- ах -}- $У — 0 имела точку А (2; 2,5) точкой перегиба. Какие еще точки перегиба будет она иметь? 1307. При каких значениях а график функции у = ех-\-ахъ имеет точки перегиба? 1308. Доказать, что абсцисса точки перегиба графика функции не может совпадать с точкой экстремума этой функции. 1309. Доказать, что у любой дважды дифференцируемой функции между двумя точками экстремума лежит по крайней мере одна абсцисса точки перегиба графика функции. 1310. На примере функции у = х 1 -{- 8х* -f- 18лг -|- 8 проверить, что между абсциссами точек перегиба графика функции может и не быть точек экстремума (ср. с предыдущей задачей). 13П. По графику функции (рис. 30) выяснить вид графиков ее пер вой и второй производных. 1312. То же сделать по графику функции (рис. 31). 94 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ II ИХ ГРАФИКОВ 1313. Выяснить вид графика функции по данному графику ее про изводной (рис. 32). 1314. Выяснить вид графика функции по данному графику ее про изводной (рис. 33). 1316. Линия задана параметрически уравнениями х = ф (О- Убедиться в том, что значениям t, при 7<оторых выражение ^ - CS меняет знак (штрихом обозначено дифференцирование по t), а (І) Ф О, соответствуют точки перегиба линии. 1316. Найти точки перегиба линии x = f\ у = 3t 1317. Найти точки перегиба лнііии х = е у = sin/f. 1318. Написать формулу Коши для функций / (x )= s in x и ср(х) = 1пх в интервале [а, Ь), 0 <^а<^Ь. 1319. Написать формулу Коши для функций /(х) = е2л: и ср(х) — = l- j- < 2'v в интервале [а, Ь]. 1320. Проверить справедливость формулы Коши для функций / ( х ) = х 3 и < р (х) = X" — {- 1 в интервале [ 1, 2). 1321. Проверить справедливость формулы Коши для функций / (лг) = sin х и ср (лг) = х c °s х в интервале [0, и/2]. 1322. Доказать, что если в интервале [а, Ь\ имеет место соотноше ние | f (лг) | ^ | ср' (jc) | и ср' (х) не обращается в нуль, то справедливо также соотношение ( Д/(х) | ^ | Дер (x) |, где Д/ (лг) = / ( х -{- Дх) — / (х), Дер (х) = ср (х Дх) — ср (х), а х и x-j-Ax — произвольные точки интер вала [а, Ь]. 1323. Доказать, что в интервале [х, 1/2] ( х ^ О ) приращение функ ции у = 1 и ( 1 -|— х~) меньше приращения функции y = a rc tg x , а в интер вале [ 1/2, х] — наоборот: Д arctg х Д 1» (1 -J- х-). Пользуясь последним У х Рис. 32. Рис. 33. жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|