Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ 2. П РИ М ЕН ЕН И Е ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
- Бұл бет үшін навигация:
- / ( х ) - / ( 0 ) = x f (0 х).
§ 2. П РИ М ЕН ЕН И Е ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ 83 а Ь b ' при условии 0 < ^ Ь ^ а . 1133. Доказать с помощью формулы Лагранжа неравенства а f ^ tg а — tg 3 ^ при условии cos- 3 te 1 cos- а ’ ^ 1 ^ 2 1134. Доказать с помощью формулы Лагранжа справедливость при а Ь неравенств^ nbn~1 (а — Ь)<^ап — Ьп <^ па'1' 1 (а — Ь), если я^ > 1, и неравенств противоположного смысла, если п<^ 1. 1135. Рассмотрим функцию , , ч [ ЛГ sin — при X Ф 0, f{x ) = \ X ( 0 при х = 0. Эта функция диф(|)ереннируема при любом лг. Напишем для нее формулу Лагранжа в интервале [0, лг]: / ( х ) - / ( 0 ) = x f ' & (0 < Е < х). Будем иметь: sin у = х ^2? sin у — cos у j , откуда cos 4-== 2S sin ~ — лг sin — . Заставим теперь лг стремиться к нулю, > % х тогда будет стремиться к нулю и ij, и мы получаем: lim cos -г- = 0. е-н-о * Объяснить этот парадоксальный результат. 84 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФ И КО В 1136. Применяя в интервале [1; 1,1] к функции f ( x ) = arctg х фор мулу / ( л'о + А - * 7) « * / ( * о ) ~ V f ^ о Н - '2 ) найти приближенное значение arctg 1,1. В задачах 1137— 1141, используя формулу f ( x 0 + A x ) ^ t f ( x 0) + f (х 0 + - |)Д х , вычислить приближенные значения данных выражений. 1137. arcsin 0,54. 1138. I g l l . Сравнить с табличным значением. 1139. 1п {х + У 1 + х'1) при л; = 0,2. 1140. lg 7, зная lg 2 = 0,3010 и lg 3 = 0,4771. Сравнить результат с табличным. 1141. lg 61. Сравнить результат с табличным. 1142. Убедиться в том, что, применяя формулу / (* )= / (« )+ < » - « ) / ' ( ф ) к вычислению логарифма от N-\-0,0\N, т. е. полагая lg ( N + 0,01N ) ■= lg N + - 0,0 IN = lg N + , N-\ y-N делаем ошибку, меньшую 0,00001, т. е. получаем пять верных цифр после запятой, если только lg/V дан с пятыо верными цифрами. П о в е д е н и е ф у н к ц и й в и н т е р в а л е 1143. Показать, что функция у = 2x3-f- Зх2 — 12дг -J- 1 убывает в интервале (— 2, 1). 1144. Показать, что функция у — ]/ 2х — х 2 возрастает в интервале (0, 1) и убывает в интервале (1, 2). Построить график данной функции. 1145. Показать, что функция у = х везде возрастает. 1146. Показать, что функция y = arctgx — x везде убывает. 1147. Показать, что функция у — х ~ 1 возрастает в любом интер вале, не содержащем точки .v = 0. 1148. Показать, что функция у = S*n , - 1~?т изменяется монотонно 1J J sin (х + b) в любом интервале, не содержащем точек разрыва функции. 1 а ,ү„ Х п 1149:г:. Доказать неравенство -р- > прн условии I g A ' i A'j 1150. Найти интервалы монотонности функции у = х л— Зх2— — 9.V-J-14 и построить по точкам ее график в интервале (— 2, 4). 1151. Найти интервалы монотонности функции у= = хі — 2х2— 5. В задачах 1152— 1164 найти интервалы монотонности функций. 1152. у = (х — 2)!| (2х + 1 )\ '—1153. у = У (2х — а) (а — х )2 (а 0). t 1 г л I — X ~ \~ Х ~ « | г г 1 0 .1154. у = -г-;—тп—:л. —1155. у — жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|