Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ 1. Определенный интеграл и его простейшие
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 1. Определенный интеграл и его простейшие свойства 1592. Выразить с помощью интеграла площадь фигуры, ограничен ной следующими линиями: 1) осями координат, прямой х — 3 и параболой 2) осью абсцисс, прямыми х = а , х — Ь и линией у — е* -]- 2 (Ь }> а); 3) осыо абсцисс и дугой синусоиды у = sin jc, соответствующей первому полупериоду; 4) параболами у — х г и у = 8 — х~; 5) параболами у — х 2 и у = ]Ух; 6) линиями у = \пх и _y=ltr„V. 1593. Фигура ограничена осыо абсцисс и прямыми у = 2х, х — 4, х = 6. Найти площади входящих и выходящих «-ступенчатых фигур («лестниц»), разбивая интервал [4, С] на равные части. Убедиться, что оба полученных выражения стремятся при неограниченном возрастании п к одному и тому же пределу «S— площади фигуры. Найти абсолютную и относительную погрешности при замене данной площади площадями входящих и выходящих «-ступенчатых «лестниц». 1594. Криволинейная трапеция с основанием [2, 3J ограничена параболой у = х~. Найти абсолютную и относительную погрешности при замене данной пло щади площадью входящей 10-ступенчатой «лест ницы». 1595. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = х~/2, прямыми х = 3 , х = 6 и осью Рнс зб абсцисс. 1596. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у — 2х-)-3 от параболы у = х~. 1597. Вычислить площадь параболического сегмента с основанием а = 1 0 см и стрелкой Һ = 6 см. (Основанием служит хорда, перпенди кулярная к оси параболы, рис. 36.) 1598. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = х~ — — 4л*-j-5, осью абсцисс и прямыми л' = 3, л = 5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 108 ГЛ. V. О П РЕД ЕЛЕНН Ы Й ИНТЕГРАЛ 1599. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугами парабол 1 о о х* У — ~ 4 Х и у — З — ү . 1600. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у =х~ — 6jvt 10 и у = 6х — х~. 1601. Вычислить площадь, заключенную между параболой у = х г — — 2х-{-2, касательной к ней в точке (3, 5), осыо ординат и осыо абсцисс. 1602. Материальная точка движется со скоростью -у = 2/ -f- 4 см/сек. Найти путь, пройденный точкой за первые 10 сек. 1603. Скорость v при свободном падении равна gt. Найти путь, пройденный за первые 5 сек падения. 1604. Скорость движения, пропорциональная квадрату времени, в конце 4-й секунды равна 1 см/сек. Чему равен путь, пройденный за первые 10 сек? 1605. Известно, что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению ее (закон Гука). Растягивая пружину на 4 см, произвели работу в 100 длс. Какая работа будет произведена при растяжении пружины на 10 см? 1606. Чтобы растянуть пружину на 2 см, нужно произвести работу в 20 длс. Насколько можно растянуть пружину, затратив работу в 80 дж? 1607. Скорость-и радиоактивного распада является заданной функцией времени: v — v{t). Выразить количество т радиоактивного вещества, разложившегося за время от момента '/'<> до момента 1\: а) приближенно — суммой, б) точно — интегралом. 1608. Скорость нагревания тела является заданной функцией вре мени интегралом. 1609. Переменный ток / является заданной функцией времени /=/(/). Выразить (приближенно — суммой и точно — интегралом) количество Q электричества, протекшее через поперечное сечение проводника за время 7', считая от начала опыта. 1610. Напряжение 11 переменного тока является заданной функцией времени £ = Выразить работу А тока за время от момента Г 0 до момента Т а) при ближенно— суммой, б) точно — интегралом. 1611. Электрическая цепь питается батареей аккумуляторов. В тече ние 10 мин напряжение на клеммах равномерно падает от £о = 60 в до £ = 40 в. Сопротивление цепи R — 20 ом. Найти количество элек тричества, протекшее через цепь за 10 мин. 1612. Напряжение электрической цени равномерно падает, уменьша ясь на а = 1,5 в в минуту. Первоначальное напряжение цепи £0=120 в; сопротивление цепи R = 60 ом. Найти работу тока за 5 мин. Индук тивностью и емкостью пренебрегаем. 1613. В пень равномерно вводится напряжение. В начале опыта напряжение равно нулю. По истечении минуты напряжение достигает |