Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 6. Кривизна В задачах 1529— 1536 найти кривизну данных линий. 1529. Гиперболы ху — 4 в точке (2, 2). X у “ 1530. Эллипса ^ в вершинах. 1531. у = х 1— 4х3— 18jc2 в начале координат. 1532. у-— 8х в точке (9/8, 3). 1533. _у = 1плг в точке (1, 0). 1534. у = In (jc -J- У 1 -}- лг) в начале координат. 1535. у = sin х в точках, соответствующих экстремальным значениям функции. ( 3 3 \ •g а, £ а ) . В задачах 1537— 1542 найти кривизну данных линий в произволь ной точке (х, у). 1537. у = х\ 1538. ^ — 1. 1539. у = In sec*. 2 2 2 — у-m v rn у 1640. х 3 -\-у = а 3. 1641. £ , + £ , = 1. 1642.у = я с һ | . § 6. КРИВИЗНА 103 104 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ В задачах 1543— 1549 найти кривизну данных линий. 1543. х = З/2, у = 3/— /3 при / = 1. 1544. x — aco$?t, у — a sin3/ при / = /і. 1545. x = a (cos / / sin /), у = a (sin / — /cos/) при / = -^ . 1546. „v = 2acos/— a cos 2/, y = 2as\nt— a sin 2/ в произвольной точке. 1547. p = a9 в точке р = 1, 9 = 0. 1548. р = аср в произвольной точке. 1549. р = аср* в произвольной точке. 1550. Найти радиус кривизны эллипса ^ -\- — = 1 в той его точке, в которой отрезок касательной между осями координат делится точкой касания пополам. 1551. Показать, что радиус кривизны параболы равен удвоенному отрезку нормали, заключенному между точками пересечения нормали с параболой и ее директрисой. 1552. Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой ее точке вдвое больше длины нормали в той же точке. 1553. Показать, что радиус кривизны лемнискаты р2 = a2 cos 2ср обратно пропорционален соответствующему полярному радиусу. 1554. Найти окружность кривизны параболы у — х* в точке ( 1, 1). 1555. Найти окружность кривизны гиперболы xy = 1 в точке ( 1, 1). 1556. Найти окружность кривизны линии у = ех в точке (0, 1). 1557. Найти окружность кривизны линии jy = tg,v в точке (тс/4, 1). 1558. Найти окружность кривизны циссоиды (х~-\-у1) х — 2аУ2 = 0 в точке (а, а). В задачах 1559— 1562 найти вершины (точки, в которых кривизна принимает экстремальное значение) данных линий. 1559. У х-\- У у — У а. 1560. у = \ п х . 1561. у = ех. 1562. х = а (3 cos / -f- cos 3t), y = a (3 sin t -j- sin 3/). 1563. Найти наибольшее значение радиуса кривизны линии р = = a sin3 | . 1564. Показать, что кривизна в точке Р линии y — f ( x ) равна \у" cos3a|, где a — угол, образуемый с положительным направлением оси абсцисс, касательной к линии в точке Р. 1565. Показать, что кривизну линии в произвольной точке можно I (I sin а где а имеет то же значение, что dx представить выражением к = и в предыдущей задаче. 1566. Функция / ( jc ) определена так: / (х) = х'л в интервале — оо л' 1, / (х) = ах2 -j- Ьх -|- с в интервале \ <^х оо. Каковы должны быть а, Ь, с, для того чтобы линия у = /(х) имела везде непрерывную кривизну. |