Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

Ф о р м у л а Нь ю т о н а — Л е й б н и ц а
1672. Вычислить интегралы:
1) 
2) 
3) ij 3 V x d x ; 
4) [ (х  -f- 1 )* dx;
1 
4 
i 
I
3 
2 
2a
5) 
V x  ( 1 -f- V x ) dx; 6) 
( J/ x — V x ) dx; 
7) 
p = - ;
4 
I 
a
4 
t) 
zi
8) 
S) \ v h (n> 0’ * > 0); 10)
I 
« 
-0
1673. Вычислить интегралы:
т: 
~
1) ^ sin 
jc
dx; 
2 ) 
c o s 
x dx
о 
о
(объяснить геометрический смысл полученного результата),
- 
VT
з 
4' 
I
3) p r f j c ;
4) \ s e c ‘ xdx-, 
б) $ 
6
) 
$ y = i -
0 
0 
0 
'l
1674. Функция f (x ) имеет рапные значения в точках х — а и х — Ь
ь
и непрерывную производную. Чему равен jj /' (jc) dx?
а
1675. Касательная к графику функции y = f ( x ) в точке с абсциссой
х = а составляет с осыо абсцисс угол 
и в точке с абсциссой
b 
I)
х ~ Ь  — угол ~ . Вычислить \ Г  (х) dx и jj /' (х) /" (х) dx; / ' (х) пред-
а 
а
полагается непрерывной.
§ 
2. ОСНОВНЫЕ СВОПСТВЛ О П РЕЛЕЛЕН Н О ГО ИНТЕГРАЛА 
115
■

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Г Л А В А VI
§ 1. Простейшие приемы интегрирования
В задачах 1676 — 1702, воспользовавшись основной таблицей интег­
ралов и простейшими правилами интегрирования, найги интегралы.
1676. \ Y x d x .  
1677. \ Y x * d x .  
1678.
1679. J 10* dx. 
1680. J а*е* dx. 
1681. ^ 
.
1682. [  
1683. \ 3,4х-о.'7 dx. 
1684. \ (1 - 2«) da.
J V 
2
g/i 
J
, 1685. J ( У х  -|- 1) (х  - V x  + 1) dx. 
1686. ^ 
+ ^ dXt
1687. j (2л'—|>
2 + Зл'—°-8 — 5л'0-38) dx.
1688. j
1689. ^ ~ j - rfjc.
1690 
І (
*
— л
1 «о 1 Г х 
'•
. С 
(/л-. 
1691. Г >
£
dx.
.) 
»
х 
J 
Г*
Г 
Р 3 • 
2
 х — • З л'
1692. \ -т ^ = .
1693. \ 
tfjr.
J Г З-Зх- 
J
1694. С 
dx. 
1695. f — ™— *— dx. 
1696. \ tg2 x dx.
J 1 + COS 2,v 
J cos2 x- sin2 x 
J b
1697. J ctg2 x dx. 
1698. ^ 2 sin2 
dx.
1699. [  
1700. [  
1 ". 
1701. f — 9 ^ . 0 .
J X
2
(1 + *-) 
J ,V(l-(-A--) 
J COS 
2x -f- Sin
2
X
1702. J (arcsin x  + arccos л*) dx.
В задачах 1703— 1780 найти интегралы, воспользовавшись теоремой 
об инвариантности формул интегрирования.
1703. ^ sin лг с/ (sin х). 
\ 1704. ^ tg3 л 'd (tg л').

1706.
1707. 
1709. 
1711.
1713.
1715.
1717.
1719.
1721.
1723.
1725.
1727.
1729.
1731.
1733.
1735.
1738.
1741.
1744.
1747.
1750.
1752.
1755.
§ 1. П РО С Т Е Й Ш И Е П Р И Е М Ы И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Я
< /(!+ *“)
117
О V 1 + л'а *
(* 
dx
) (2лг — З)6'
S ]/(8 — 3x)fi dx.
С 
гп
1706. J (х -(- 1 У'Ых
(ІХ
1708
• 
I
dx.
} Y (« -Ь bxf 
J X V  1 — Х~ dx
(а -{- Ьх)
1710. $ V S  —
2
х dx.
1712. 5 2х У х -  -j- 1 dx.
(с Ф  1).
А
х dx
г* 
х '(
+ г
x*dx
+ Г
jj sin3 лг cos лг dx.
1714. 
5 
-V- 
V х '
Т
2 dx. 
С 
л'* dx 
J
V T + J ? "
С 
(6л' - 5) 
dx 
.) 2 
У З х *
- 5
cos 
x dx
V sin" x
j/ ln
x
dx.
dx
I
3
(arcsin 
хУ V I — x*
^ cos Зл* d (Зл*).
^ cos Злг dx. 
sin (2л; —
3) 
dx.
Ц j^cos^x-—
dj
S
1716.
1718.
1720.
1722.
1724.
1726.
1728.
1730.
V
-
2 У
o.v- — 
ox
- f- 0 ‘ 
sin 
x dx
COS -A'
^ cos'* лг sin 
2
x dx. 
^ (arctg 
x)- dx
I
1 -j- X~
dx
cos- 
x \
1 
-)- 
tg 
x 
i* jl{\ + \nx)
J cc
dx. 
1736. 
1739. 
1742.
[
 
J
cx
-I- 
i
1 -j- X- 
J
dx
S l r r -
I742- 
I f r
^ tg лг dx. 
1745. ^ ctg лг dx.
$ctg(2*-j- \)dx. 
1748. (j
(In 
x )r
cos- (1 -J- lri 
x)
‘
Jj (cos а — cos 2л*) dx.
1732. ^ cos (1 — 2x)dx.
1734. J V ( s i n ex)dx.
(2x
- 3) 
dx
j
X "
— «.J.VT 
$
С x dx
J p q r f -
1743.
j C-V H- «- 
1746. \\gbxdx.
dx. 1749. 
-4^-.
J
a
: In x
f f/ (arcsin л") 
J 
arcsin л"
1737.
1740.
dx.
1 -j- cos" 
X
1751. ^ esinx d (sin x)
i
^ gsin .v cos лг (/лг. 
1753. ^ а:|л' г/л. 
1754. ^ a~x dx.
*j dx. 
1756. J dx. 
1757. J e~x V dx.

118 
ГЛ. VI. Н ЕО П РЕД ЕЛ ЕН Н Ы Й ИНТЕГРАЛ. И НТЕГРАЛЬНО Е ИСЧИСЛЕНИЕ
У
\ -
А 8
1770.
1762
1765.
■
ы
І
7
І
dx 
+ 9* 
х dx
1768. jj ~ ^ dx
+ 4 *
1771
. ^ 
dx. 
1772. 5 (dx.
1773. f ■
/ -
+-—■
dx. 
1774. f
J К 1 — A" 
J
A" + 9
1775. ^ y m < t e
1776. ^ £ £ ^ < 1 *
1777. Г 1 + x ~ x--dx. 
1778. f 7----d.
J )/ (1 - .v-)3 
'
(лг + У x- — l)
1770. [ 2jc~ } ^ l in X dx. 1780. С •
y. + <,rcc°?.S£>’ rf*
J
у
1 — a -
J
У
1 - 9 a -
B задачах 1781 — 1790 найти интегралы, выделив целую часть подын­
тегральной дроби.
1781. С 
1782. 
f —
rfx. 
1783.
J
a
+ 4
J 2
a
+ 1 
J a + &
a
,784. J g ± £ * .
1785. 
jj 
1786. J
1787. 
1783. 
1789. 
ү — dx.
•01790. ii 4 ^ - .
J A " + 1
В задачах 1791 — 1807 найти интегралы, использовав прием разло­
жения подынтегрального выражения и прием выделения полного квадрата.
1791. С 
. 
1792. [  
41793. ( т—г т г ^ --- чТ-
J А ( А — 1) 
J А ( А + 1 )
J ( А + 1) ( 2
а
- d )
1 7 9 4 ‘ 
[
7----- Т77----- 7- 1 7 9 5 * 
^ 
^
А 1 7 9 6 ’ 
--- 7/Л , 1П .
J ( а
— a) 
(b
- a) 
J
л -
— 
1 
Н
} х-
-
7 а
+
10
• 
\
“Т л Г Г --- І7г 
1798‘ 
[
І 
о • 
1799* ^ о 
Ч - Г -
j
а
- + З
а
— 10 
J 4
а
- — 9 
j 2 — З
а
-
• 
1801> t 
, 1802. f -
J
(
a
- 1)- + 4
. J a - + 2 a +
d
J
A
1797
1800
dx
x~ — 2.5 *

dx
§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИН ТЕГРИРО ВАН ИЯ 
119
1806.
• [  , « , rff
1804* Г 
Лх 
1805‘
J 4х“ + 4л + 5 
J
/ 1
- (2л + 3)2 *
Г 
' Ч у : 
: 
1807. Г ■
, 
АХ
J
К 8 
Ьл - Ул2 
• 
J
/ 2
- бл — 9л-3
]/ 4л — 3 - 
а
-
В задачах 
1 8 0 8
— 
1831 
найти интегралы, использовав формулы три­
гонометрии для преобразования подынтегрального выражения. 
I
1808. \ cos
9
л dx. 
1809. \ sin
2
xdx. 
1810. [ -.—— — . )
J 
J 
J 1 — cos х
1811. f ТаГ^— • 
1812‘ \ T ~ C°* X dx. 
1813. [ \ + sinx dx.
j 1 -j- sin x 
J 1 -J- cos x 
j I - sm x
1814. \ (tg
2
л -}- tg
4
Л) 
dx. 1815. [  
c
°
s
2
a
dx 
.
о 
j
1
-j- sm x cos x
1816.5
cos x  sin 
З л
dx. 
1817. ^ cos 
2
л cos Зл dx.
1818. J sin 2л sin 5л dx. 
1819. ^ cos л cos 2л cos Зл dx.
1820. f —
. 
1821. [  — - S1-? 'v dx. 
1822. [ s^ ^ d x .
J COS A
J
COS A
,) COS A
1823. [  -os.! * (lx . 
1824. f - ^ k d a . 
1325. f
J 
sin л' 
J
/cos a 
J 
COS
1
A
1826. ^ cos
3
xdx. 
1827. $ tg'* л dx. 
1828. jj sin
5
A*1829Л sin 4л f/л. 
1830. [t^ x d x . 
1831. [
J 
J & 
J SHI
0
A
§ 2. Основные методы интегрирования
И н т е г р и р о в а н и е по ч а с т я м
В задачах 
1 83 2 
— 
1 8 6 8
найти интегралы.
1832. ^ х sin 2л dx. 1833./ ^ л cos л dx. 1834. 
хе~х dx.
^І 835. \ л Зл‘ dx. 
1830. j x n ln x dx {n ^ — 1).
sj 1837. ^ л arctg л dx. 1838. J arccos л dx.^X 839. $ arctg ]/ x dx.
1840. jj p.Csi^ * dx. \/l 841. ^ л tg
2
x dx. 1842. ^ x cos
2
л dx.
1843. y * f d x .  
1844. [ x.arct^x dx. 1845. [ — l H ^ -dv
.) л
J / l +
A a 
J | Л — A
1846. ^1п(л*+ 1)аГл. 
1847. \ (jq ^ p .
184& $ j7f= j= r 
1849. 
J ,v= In (1 - f 
X) 
dx.
1850. \x  
1851. 
\x*exdx. 1852. 
\x*a*dx.
1853. J л :І sin xdx, 
1854. 
л
2
cos2л dx. 
1855. ^1п
2
лгУл.