§ 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ И Н ТЕГРИ РУЕМ Ы Х ФУНКЦИИ

128 
ГЛ. VI. Н ЕО П РЕД ЕЛ ЕН Н Ы Й ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНО Е ИСЧИСЛЕНИЕ
Р а ц и о н а л ь н ы е (j) у н к ц и и от х и V ах* -j- bx -f- с
В задачах 2151— 2174 найти интегралы.
2151*. 
2153. (
dx
J А' Vx- -f- A" 
I
_____ А 
Ух~
 -|-2а = Т
2152.
\
dx
а 
Ух- + 4а - 4* 
dx
2155. jj УГ 'І Х ~У-
 X' dx.
2157. f ...........................
J (
2
а - 3) У 4а - а
3
2159. \ V З х *  — Зх - f 1 dx.
+ 1
w2154. { 
..dX 
. г.
,] А 
У 2 +
A — A- 
<2156, S (A - 1) / Ғ + Т + Г
2158.
2 a — 1 dx.
2161.
2163.
2165.
2167.
2169.
2171.
P 
dx
J
X — V X я — X
2160. J Y 1 — 4x — 
X" dx. 
p _______ dx_______
J A" (
a
+ У 1 + A ")
dx
ii 1+ /
a
2 + 2
a
 + 2
(2a
2
— 3a) dx
С J r £
3 V *  
\
I
1
— 2a -j- 5 
3a
3
dx 
у X- -|- 4 
a -|ЛГ*
3a
3
-
8a 
+ 5
dx.
2162.
2164. 
2166.
2165. 
2170.
a2 
dx
V  1 - 2a - A- 
3a
2
- 5 a
V 3 - 2a - A-
V
3
- A + 1
dx.
dx.
x* dx
2172
2174.
(a 
— 
1
) dx
Ух- -  4a - 7 
P 
dx
j
(a
3
-J- 
3as 
-j- З а
1) V
A" 
-j- 
2a 
— 
3
[ V~l + xS dx 
2173. [  —
_________________ .
J
2 +
a3 
■
‘ 
J
a* 
V ‘2x* -  2a -f 1
С ________ (2a -f- 3) dx
)  
(A2 
-I- 2a -j- 3) Ух- 
2a + 4 ‘
Р а з н ы е ф у н к ци и .
В задачах 2175— 2230 найти интегралы.
2175- 5 Б Г = Т Ғ -
217°- I
х dx
2177. jj x j / a + x r f x .
2178. jj
2179
2181.
2183.
I-
у 1 - A
f/x.
(* 
dx
J 1 - A1 *
S
in (A-f* О
~ y y
+ 
1
2180.
2182.
2184,
A 
- V x 1
 
Г
dx
ae"’x 
be~"lx' 
dx
\ - r - Z
J (A'S - I1) (л' ~Ь 2) *
(* 
dx 
]  (A
1
- 1 
)2
*
. ^ (x" -J- 3x -}- 5) cos 2x dx.

. -VS'9 4~ -V3 
I 
A
^
x p
'2222
•xp
,.(-V 
|)
X 3 p JL ’
S '
6122
лт>л*2рл? ^ 
LXZZ 
' Т ^ Г \
1 + рУҚ -I" ,.Y /( X
> ' P
(1 “ r;-v )
s
'SI 53
.Y SOD-{-.r UIS 4- 1 i*
---- 11-- - J -L J *1122
x p
X  rSOD -V CU|S
Vp
X P ( I 4 -F.r)..v^r J -Z066
• y -П *( 1 ” ;-V M С
л р = Щ г - ) *so^
eo2c
. X  -SOD 4- I (*
:\ , 7, .... )  4 0 ^
S 
'еб,г
. t(-Y + 1) /1 ix г .
x p
. 
1
+ ;-Y A  t‘
x p tx  
J
*Z612
'2612
r ( l - x ) ex
r
T 
'2612
x p
P x X ?  ( G
i,x G 
KX )
'XP x
-/ L
neniteg 
. 1 + x - S ~  .V»* I*
x/? (д-з + **<>) .) 
. Л-?. ~ I )
I'
X/? 
J 
£=£+11 Г
r XnpJ BX ,1
. -V*7 ~J~ I /1 ^ 
\
'
х
р
2
- j -
A
^
t .V , UIS -f-X,,SOD С
xp xz u.is
X  cSOD X  J.IIIS A (*
xp 
)
'Xp XS03y9.X ^
x
-Hi
x p X:>X
, 
_ * M (R ~ -
гб) {
л'/;
S
x p  ( l — X ll|)
, .v -sod -q — -j) С
x p  
'
, x ms 
i — X(,
 ins
x p
x p
s
kfS
■ L L d + l
/I Г
>i> ? / . - [У
1]
s
■j(r-r ~r 1) /I
~ 
A — X С
x p
\
• x p X y [  U !S
'0612
'8S12
•д-р(дгу(-|-i ) 2 p j c J *9812 
і і и п
)
і н л ф
x iq w a A d ii d j a in i i
і ч э э у і г я
з і п і ш о н э о
€ §
x p X  UISDJU ,) 
■xp X  
1JS --Г 5
*0222
*8122
'9122
-fizz
SloS
'0122
'8022
'0022
*022
'2022
'0022
'8612
'9612
4612
'6612
'1612
‘6812
*/.812
I -
j
 
g
'1222
'£813

130 
ГЛ. VI. Н ЕО П РЕД ЕЛ ЕН Н Ы Й ИНТЕГРАЛ. ИН ТЕГРАЛЬН О Е ИСЧИСЛЕНИЕ
2223. ^ 
2225. jj 
2227. 
2229*.
lg х dx
l + tg jr + t g 8** 
(3 +
х*у- Xя 
dx
(1 +х-у 
dx
sin
4
x -f- cos
1
x 
Xs — 1 
dx
2224,. 
sin8 xdx.
2226 ^ 
~ ^л' 
^ dx
j (a'2 — 3.v — 10)*
2228. jj
(л: -f- s>n x) dx 
2230. jj 1
-j- cos 
x
X 
COS'1 
X
sm x
cos- 
x
dx.

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫ Х ИНТЕГРАЛОВ. 
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Способы точного вычисления интегралов
Н е п о с р е д с т в е н н о е п р и м е н е н и е ф о р м у л ы 
Н ь ю т о н а — Л е й б н и ц а
В задачах 2231— 2258 вычислить интегралы.
I 
-I
о
- 13
9
2
Т
4
16
2237. jj (ех —  1)* ех dx.
0
1
и
и
1
и
J2240. ^
dx
и
х У Т — (in л-)-

132
ГЛ. V II. ВЫ ЧИ С ЛЕН И Е О П РЕД ЕЛ ЕНН Ы Х ИНТЕГРАЛОВ
'Г2246. ( г ----\ а.х 
» 
2247. [  
---*.
.) (л* — 
а)
 
(х — 2а)
 
j 2л- -|~ .iv — 
2
0 
'2
1 
'1
 
1
fix
V  8 •
І- 2.v — лг* 
-0,5
2253. ^ cos х — cos:t х dx. 
2254. 
^ sin2 (tojc -j- cp0) dx.
* 
и
2
n 
t:
2255. [  
2256. { ctg* 
<
p rf
у sin л: 
J
‘2
. 
1 
SI 11 —
2
22^7* ) — f dx. 
2*a8. 
\ costs[n( 2t — -j^dt.
1 
It
1
Z 
2
В задачах 2259— 2268 интегрированием по частям найти интегралы:
I 
* 
3
2259. ^ хе~* dx. 
2260. 
х cos xdx. 
2261. ^
0
 
6
 
z
4
iz 
2
2262. ^ х'л sin х dx. 
2263. \ х  log2 х dx.
о 
• 
i
е — \ 
n V  7
2204. [ In (х + \)dx. 
2265. С , ? - х ■.
о 
о 'и ’ + х’
1Z
а
___________
2 
е
2266. ^ У а
1
— х ‘ dx. 2267. ^ e2vcos xdx. 
2268. ^ In3 х dx.

2209. 
С о с т у п и т ь
рекуррентные формулы для вычисления интегралов
V 
2
^ cos"х dx и ^ sin” x d x ( n — целое положительное число или нуль) н 
(I 
о
вычислить интегралы:
П 
7Z 
Г.
Т
V
т
а) ^ sin3 х dx\ 
б) 
cos * х dx\ 
в) Ц sin11 xdx. 
о 
о 
и
2270. Составить рекуррентную формулу для вычисления интеграла
Jj s itim j : c o s " x
dx (tn 
п n  — ц е л ы е п о л о ж и т е л ь н ы е ч и с л а и л и н у л и ; иссле- 
о
довать частные случаи четных и нечетных значений т  и п).
2271. Составить рекуррентную формулу и вычислить интеграл
о
^ хпех dx (tl — целое положительное число).
-I
2272. Доказать рекуррентную формулу
§ I. СПОСОБЫ ТОЧНОГО ВЫ ЧИ СЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 
133
t* 
dx 
_
х 
, 
2п — 3 Г
3
( 1+ х*)п ~ 2 (п - 1) (1 + А-Т-* Һ 2 (и - 1) )
dx
(1 + х У
1' 1
(и — целое положительное число) и вычислить с ее помощью интеграл
I
1
* 
dx
)  (I -j- л-а)4 * 
о
е
2273. Доказать, что если J m =  ltimх dx, то J m— e — rn.lm_t (tn —
i
целое положительное число).
i
2274*. Найти \ x p( l — x)q dx (p и q — целые положительные числа).
З а м е н а п е р е м е н н о й в о п р е д е л е н н о м
и н т е г р а л е
В задачах 2275— 2295 вычислить интегралы.
227®- 
І ғ т г т * *
227«- 
І т т т -
2277- І р т т = -
4 
(I 
3 
1
1 
1 
_
29 
______ ___________
<
• х dx 
1
’ Ve* dx 
i‘ 
V (x — 2)-’ dx
2278‘ 
J 1 -I- V x ’ 
2279, 
J Vex + e x ' 
2
 
J 3 -f Y (x  - 2У
0 
0 
3

134
ГЛ. V II. ВЫ ЧИ С ЛЕН И Е О П РЕД ЕЛ ЕН Н Ы Х ИНТЕГРАЛОВ
Г
2281*. 
sinfi ~ dx. 
2282*. ^ cos
1
 
2
х dx.
2283. 
2284. \ 
2285. \ Ц ^ Л х .
и 
I 
уз
2
2 
2
2286,
1
I ________
1
____________
2288. ^ У (1 — JC“):‘ rfjf- 
2289. ^ х* У 1 — х* dx.
о
— In 2
— 
л 
1
2290. 
\ У  1 — d* dx. 
2291. \ 
~ ----
о 
' л- + Vа- — х-
2292. Г —
5. 
2293. \
8
L * - * L d x .
J
(Х- + 3)1
 
2’5
2294.
о
1
/3 
2 /2
dx 
„ 
{* 
С 
dx 
990
К
С 
_____
} (2.V- + 1) K F + T • 
J _ * / ( F = 2 F
/!
Р а з н ы е з а д а ч »
V x
2296. Вычислить среднее значение функции у = У х - \ - ~ =  в интер­
вале [1, 
4].
2297. Вычислить среднее значение функции f  (л~) — ^—- п интер­
вале [1; 1,5].
2298. Вычислить среднее значение функций / (х) — sin х  и f (х) —  
= sin2л* в интервале [0, тс].
2299. Найти среднее значение функции /(.v) = ^ ~ —у в интер­
вале [0, 2].
2300. При каком а среднее значение функции у — \х\х в интер­
вале [ 1, «] равно средней скорости изменения функции в этом интервале?

В задачах 2301 — 2317 вычислить интегралы.

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: