§ 3. Несобственные интегралы

§ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 
1‘13
2375. [  — іх  
2376. 'і х e~*'-dx. 
2377. [ x’,г " ' dx.
+  
J
j
00
 
00
 
00
2378. 5 xsin xdx. 
2379. § e~^x dx. 
2380. § e~xsinxdx.
о 
o
o
CO 
00 
oo
2381. ^ e~ax cos bx dx. 2382. ^ --rc^F x dx. 
2383. ^ у 
•
и 
V
o
OO 
CO 
_
2384. J
2385. [ j ^ d x .
— 
OO 
1
В задачах 2386 — 2393 исследовать сходимость интегралов.
2386.
Ь
S Ғ Т Г **■ 2387- 5 Ч
1
 dx- 
2388. $ g ^
+ n , dx.
0 
1 
о
оо 
со 
со
2389. 
[ 1п (Л'-"Ь ]) dx. 2390. [ Vxe~* dx. 2391. 
[
=dx.
\ 
* 
\ 
} Ү Т + *
2392. Г — ~ — . 
2393. Ғ ------
,) X In In X 
I
J 
Л' (ln x) 2
И н т е г р а л ы от ф у н к ц и й с б е с к о н еч н ы м п 
р а з р ы в а м и
В задачах 2394— 2411 вычислить несобственные интегралы (или 
установить их расходимость).
[ , dx 
2395. [ 
2396. С -4^=г-.
J 
У
1
- X- 
J 
х * -
4
х +
3
 
) у х - ]
0 
О 
1
1 
е 
2
2394.
2402.
. ^ х In х dx. 
2398. ^ - J w x
' 9
2399' \
{) 
о 
1
( — ^ = - .  
2401. С - = ......---........
(а О ) .
.) Л' У In Л' 
J У (х — а) (Ь — л")
1 
а
[ 
Х <1х ,---- - 
(а < Ь). 
2403. ( ■
J У (х — а) (Ь — х) 
,) У (х — 3) (5 — л
2397. \ Л' In X dx. 
2400.
С ------ ^ 7=
. 
2405. V ----- ^
J 1 - .V- + 2/Г-лг* 
J (2 - A') K l -
2404.
о 
—1

144
ГЛ. V II. ВЫ ЧИ СЛЕН ИЕ О П РЕД ЕЛЕНН Ы Х ИНТЕГРАЛОВ
1 
1
2400. [  
2 dx.
2407. { 
dx.
2408. 
С 
- dx.
3 
Vx- 
,1 »v x
1
 
)
y #
- I
- 1
 
- 1
1 
0 J_ 
I 
Jl_
2409. [ ]n. $ + / x) dx.
 
2410. [ iL d x .
 
2411.
I
V х 
I xa
 
J
X -
B задачах 2412 — 2417 исследовать сходимость интегралов.
2412. \ 
dx.
 
2413. \ 
x* dx 
2414. [ 
-- •
. 
/1 
- А *
у ( I
— A '")"’ 
J с* * -
 
1
0
r 
о 
' 4 
’ 
n
I 
1
2415. 
2416. \ -
t
^ —
. 
2417. 
dx.
.) j.s‘n Л _ i 
.) ex — cos a
J
у х
о 
о 
о 
r
Р а з н ы е зада ч и
2418. Функция f (x ) в интервале [я, оо) непрерывна и f (x )- * - A jt  0
со
при х —> со. Может ли интеграл \ f ( x ) d x  сходиться?
а
со
2419. При каких значениях к интеграл ^ xk 
у dx будет схо­
дящимся?
2420. При каких значениях к сходятся интегралы
со 
го
( _ * £ _ „ ' С _ £ Ё _ ?
.) Х к In X  
у) Л" (111 х ) к
ь
2421. При каких значениях к сходится интеграл jj 
Ф
а)?
а
со
2422. Можно ли найти такое к, чтобы интеграл ^ хкdx сходился?
о
СО
р 
КЬ
2423. При каких значениях к и t интеграл \ —-- -dx сходится?
. 5 1 + х  
о 
'
~
2424. При каких значениях т  интеграл ^ 
— dx сходтся?
6
т:
2425. При каких значениях к интеграл ^ ■
<,х 
сходится?
J sin х

§ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1-15
В задачах 242G— 2435 вычислить несобственные интегралы.
00 
1
2426. [ - ? х 
2427*. [ l n ! +J f f J 5 = .
J х /ЗҒЗГГ 
3 
1 “ л' I7 1 - л*
I 
— I
СО 
о э
2428. С - с]? (л' 
2429. 
[ . , ■
f * . 
(/г — целое положи-
3
>/ (
а
- - 1 1‘ 
. И й +
А" )
о 
о
тельное число).
СО
2430. ^ хпе~х dx 
(п — целое положительное число), 
о
00
2431. J xw le
~x2
 dx (п — целое положительное число).
0
1
2432. ^ (In х)п dx 
(п — целое положительное число), 
о
I
Х^* (I к 
•
2433:i;. V 
-- - при т :  а) четном, б) нечетном (//г^>0).
0
1
(• (| _ 
1
()П
2434*. \ --- ■
—— dx (п — целое положительное число).
3
у х
0
СО
2435- \ l ----- = Г  
( ° < ’ < 2">-
,} 
(А — СОЗ а ) У X - — 1
1
00 
00
2435*. Доказать, что [ ■
(1х = \ 
.
3 1 +
х ‘
3 1 + х 1 
2 
У 2
о 
о
СО
2437*. Доказать, что \ . ,л'
х,-~ d x =  0. 
о
00
_2
2438. Вычислить интеграл \ —
d г.
3
X s у X- -  1
I
В задачах 2439 — 2448 вычислить интегралы, пользуясь формулами
\ е~х~ d x =
’ 
(интеграл Пуассона), 
о

146
ГЛ. V II. ВЫ ЧИ СЛЕН ИЕ О П РЕД ЕЛЕНН Ы Х ИНТЕГРАЛОВ
2439. 
jj е~ах' dx 
(а > 0 ). 
2440. jj * 
dx.
о 
о
СО
2441*. ^ х^е-*' dx. 
о
ОО
2442. ^ x lne~x' dx ( я — целое положительное число), 
о
со 
со
2443. 
^ 
dx. 
2444. jj 
dx.
Ь 
и
2445. 
^
dx 
(а > 0 , Ь > 0 ).
ОО 
СО 
СО
2446*. 
2447*. [ ^ ~ d x .  
2448*. J ^
rfx.
5 
о 
о
Л*
2449*. Положим ср(х) = — ^lncos_ytfy. (Этот интеграл называется
о
и н т е г р а л о м Л о б а ч е в с к о г о . ) Доказать соотношение
<
р
М =
2
? ( i + - f ) -
2
<
p
(-£---£)-•* In 
2
.
С помощью найденного соотношения вычислить величину
а
\ In cos у dy 
Ь
9
h r =
(впервые вычисленную Эйлером).
В задачах 2450 — 2454 вычислить интегралы.
2450. 
^ I11 sin х dx. 2451. ^ х In sin х dx. 
2452*. 
x ctg x dx.
0
0
о
1 
l
In x dx

Г Л А В А ҮІІГ 
П РИ М ЕН ЕН И Я И Н ТЕГРА Л А
§ 1 Некоторые задачи геометрии и статики
П л о щ а д ь ф и г у р ы
2455. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения 
которых уг =
2
х -j- 1 и лг — у — 1 = 0 .
2456. Найти площадь фигуры, 
заключенной между параболой 
у  = — х* -j- А х— 3 и касательными к ней в точках (0; — 3) и (3; 0).
2457. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у* = 2рх 
о нормалью к ней, наклоненной к осп абсцисс иод углом 135°.
2458. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у  = х* 
и у  = V x .
2459. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у- -j- 8лг =
= 16 и у-— 2Ах=А8.
2460. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у = х*
'I /о
и у  = х / 3.
2461. Окружность x--j-J/9 = 8 разделена параболой у = хг-/2 на 
две части. Найти площади обеих частей.
2462. Найти площади фигур, на которые парабола у* =
6
х  делит 
окружность _хг~ —
j-
= 16.
2463. Из круга радиуса а вырезан эллипс, большая ось которого 
совпадает с одним из диаметров круга, а меньшая равна 2Ь. Доказать, 
что площадь оставшейся части равна площади эллипса с полуося­
ми а и а — Ь.
2464. Найти площадь фигуры, ограниченной дугой гиперболы и ее 
хордой, проведенной из фокуса перпендикулярно к действительной оси.
2465. Окружность х*-\-у* — сг разбивается гиперболой х
'1
— 2у
1
 =  
= а-(А на три части. Определить площади этих частей.
2466. Вычислить площади криволинейных фигур, образованных пере-
Vs 
О 
V3
сечением эллипса -j 
1 и гиперболы 
-- у ’ = 1 .
2467. Вычислить площадь фигуры, заключенной между линией 
у —  j 
y!i и параболой у = ~ .
2468. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у = х ( х — I)3 
и осыо абсцисс.

148
ГЛ. V III. ПРИ М ЕН ЕН И Я ИНТЕГРАЛА
2469. Найти площадь фигуры, ограниченной осыо ординат и линией 
х = у - ( у - \ ) .
2470. Найти площадь части фигуры, ограниченной линиями у т = х п 
и у п = х т , где tn и п — целые положительные числа, расположенной 
в первом квадранте. Рассмотреть вопрос о площади всей фигуры в зави­
симости от характера четности чисел т  и п.
2471. а) Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной
о! /—
осыо аосппсс и линией у — х — х-у х.
G) Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями линии 
(у — х)~ = х* и прямой л' — 4.
2472. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией { у — х — 
2
)~= 
= 9х и осями координат.
2473. Найти площадь петли линии у~ = х ( х — I)2.
2474. 
Найти площадь 
фигуры, ограниченной 
замкнутой линией
У8 = (1 — х-?-
2475. 
Найти площадь 
фигуры, ограниченной 
замкнутой линией
у* = х* — х\
2476. 
Найти площадь 
фигуры, ограниченной 
замкнутой линией
Л'1 — ах3 -|- а-у- =  0.
2477. Найти площадь конечной части фигуры, ограниченной линией 
jc
2
j
9 = 4(.
v
— 1) и прямой, проходящей через ее точки перегиба.
2478. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = ех, 
у = с~х и прямой х = 1.
2479. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной 
линией у = (х* -{- 
2
х) с ~х и осыо абсписс.
2480. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной
линией у  = е ~х (х~ —
|—
Злг -|—
1) 
Ох и двумя прямыми, парал­
лельными оси Оу, проведенными через точки экстремума функции у.
2481. Найти площадь конечной части фигуры, ограниченной линиями 
у =
2
х~ех и у =  — х‘лех.
2482. а) Вычислить площадь криволинейной трапеции с основанием 
[а, Ь\, ограниченной линией у =  In х.
б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией д/ = 1плг, осыо 
ординат и прямыми у = \па и у = \иЬ.
2483. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у =■ In х 
и у  = ІП" X.
2484. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
In х 
,
У = ^ - п у = х 1и л-.
2485. Вычислить площадь одного из криволинейных треугольников, 
ограниченных осыо абсцисс и линиями _y = s in jc и у =  cos х
2486. Вычислить площадь криволинейного треугольника, ограннчен-
9
ного осыо ординат 
И ЛИНИЯМИ 
=
и У = ^ cosx

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: