Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ I. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМ ЕТРИИ И СТАТИКИ
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ I. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМ ЕТРИИ И СТАТИКИ 151 2517. Ha/ітл площадь фигуры, заключенной между трактрисой х = a ^cos t -{- In tg ~ j » У == a sin t и осыо абсцисс. COS 2518. Для линии р==--- 1 найти площадь петли и площадь фигуры, ‘ COS <р заключенной между линией и ее асимптотой. Д л и н а лии и и *) 2519. Вычислить длину дуги цепной линии у = acli -- (от ЛГ| = 0 • д о Хо = Ь). 2520. Найти длину дуги параболы у 2 = 2рх от вершины до ее точки М (лг, у). (Взять в качестве независимой переменной у ) 2521. Найти длину дуги линии у = In лг (от ЛГ] = У 3 до Ло = У 8 ). 2522. Найти длину дуги линии у = In (1 — лг2) ^от х { = 0 до л'о = ^\ с х 4-1 2523. Найти длину дуги линии у = 1и - v __ (от Хі — а до х* = Ь). 2524. Вычислить длину дуги полукубической параболы у* = 9 V* — “-(лг— I)’1, заключенной внутри параболы у- = 2525. Вычислить длину дуги полукубической параболы 5У‘ =л*2, заключенной внутри окружности л-3 = б. 2526. Вычислить длину петли линии 9яУ2 = лг(лг— За)2. 2527. Найти периметр одного из криволинейных треугольников, ограниченных осыо абсцисс и линиями >' = 1псо$лг и ^ = 1п эіплг. 2528. Найти длину дуги линии л* = ~ — ~ү~* заключенной между ее наинизшей точкой и вершиной (точка линии с экстремальной кривиз ной). 2529. Найти длину линии у = У х — лг2-|- arcsin У х . 2530. Найти длину линии (у — arcsin лг)2 = 1— х*. 2531. На циклоиде л* — a ( t — sin t), у = а ( 1 — cos t) найти точку, которая делит первую арку циклоиды по длине в отношении 1 :3. 2532. Дана астроида лг = R cos:{ t, у = R sin:1^ и точки па ней A (R, 0), В (0, R). Найти на дуге А В такую точку /VI, чтобы длина дуги AM составляла четверть длины дуги АВ. о 2 2533*. Найти длину линии 3 - { - = 1. 2534. Найти длину линии x = a c o s st, у = а sin5£ *) В задачах на вычисление длин дуг там, где это необходимо, в скобках указывается интервал изменения независимой переменной, соответствующий спрямляемой дуге. 152 ГЛ. V III. ПРИМ ЕНЕНИЯ ИНГЕГРЛЛЛ 2535. Найти длину дуги трактрисы х = a |cos t -J- ln tg , у = a sin t or се точки (0, а) до ее точки (x, у). 2536. Найти длину дуги эвольвенты окружности х = R (cos t -)- t sin t), у = R ( sin t — t с os i) (or tj = 0 до /2 = и:). 2537. Вычислить длину дуги линии лг = (f2 — 2) sin t -j- 2 1 cos 1 , y = ( 2 — f ) cos t -j- 2 1 sin t (or /i = 0 до to = n). i 3 2538. Найти длину петли линии лг = /", y = t -- О 2539. По окружности радиуса а, вне и внутри ее с одинаковой угловой скоростью катятся (без скольжения) две окружности с радиу сами, равными Ь. В момент t = 0 они касаются своими точками Л\\ и ЛЬ* точки ЛІ неподвижной окружности. Показать, что отношение путей, проходимых точками М х и /И2 за произвольный промежуток времени t, постоянно и равно ~ (см. задачу 2493). 2540. Показать, что длина дуги линии жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|