1.2. Норма вектора евклидового пространства. Неравенство Коши - Буняковского
Определим с помощью введенного понятия скалярного произведения длину или норму вектора и угол между векторами.
Определение 2.2 Длиной вектора
x в евклидовом пространстве
называется число
(4)
Длину вектора
x будем обозначать через |x|.
Для того чтобы можно было в дальнейшем определить угол
φ между векторами нужно доказать, что или,
что то же самое, что
ведь (5).
Пока примем это утверждение как очевидный факт, все мотивы его появления описаны в следующей главе.
т.е. (6)
Это неравенство
называется неравенством Коши--Буняковского.
Доказательство:
Рассмотрим вектор
x-ty, где
t -- произвольное действительное число. Согласно аксиоме 4
0 скалярного произведения
т.е.
для любого t
Мы видим, что стоящий слева квадратный относительно
t трехчлен принимает лишь неотрицательные значения.
Следовательно, дискриминант уравнения
не
может быть положительным, т.е.
что и требовалось доказать. [2]
Глава 2. Практическая часть
№
1 В евклидовом пространстве непрерывных в промежутке [0;1] функций х=х(t), у=у(t) рассматриваются два вектора х= , у= .
Найдите значение , при котором векторы х и у будут ортогональны на промежутке [0;1], и проверить справедливость теоремы Пифагора для этих векторов.
Решение.
Скалярное произведение в пространстве непрерывных функций задается интегралом:
(х,у)= .
Условие ортогональности двух векторов имеет вид (х,у)=0, получаем
,т.е
…..
