Формулы сокращенного умножения

N = { 1; 2; 3; 4; . .}

Целые числа	Z = N  { 0; -1; -2; -3; …}
Рациональные числа	Q = Z 
Действительные числа	R = Q 

Тригонометрия
Основные триг. формулы
 и

Формулы суммы функций




Формулы суммы аргументов:



Формулы произведения функций



Формулы половинного аргумента

Формулы двойного аргумента



Формула дополнительного угла
где
Определение тригонометрических функций



Универсальная подстановка ;
Свойства тригонометрических функций

Функция	Свойства
	Область определения	Множество значений	Четность-нечетность	Период
cosx			cos(-x)= cosx	2π
sinx			sin(-x)= -sinx	2π
tgx			tg(-x)= -tgx	π
ctgx			ctg(-x)= -ctgx	π

Тригонометрические уравнения
Косинус:
; ; ; .
Уравнения с синусом. Частные формулы: ;
Общая формула:
Уравнения с тангенсом и котангенсом
Формулы обратных триг функций

Если 0 < x  1, то arccos(-x) =  - arccosx arcsin(-x) = - arcsinx

Если x > 0 , то arctg(-x) = - arctgx arcctg(-x) =  - arcctgx

Обратные триг функции

Функция	Свойства
	Область определения	Множество значений
arccosx		[0; ]
arcsinx		[-/2; /2]
arctgx		(-/2; /2)
arcctgx		(0; )

Геометрия
Т еорема косинусов, синусов Теорема косинусов:


Т еорема синусов:
П лощадь треугольника



С редняя линия
Средняя линия – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине:
Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь которого равна одной четверти от исходного
Равносторонний треугольник
треугольник, у которого все стороны равны.

• 
  Все углы равны 60⁰.
  
• 
  Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.
  
• 
  Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
  
• 
  Радиусы окружностей:
  

Площадь
Р авнобедренный треугольник
треугольник, у которого две стороны равны.
1.Углы, при основании треугольника, равны
2.Высота, проведенная из вершины, является биссектрисой и медиан
П
b_c
рямоугольный треугольник



b

a_c – проекция катета нa
гипотенузу





h



a

• 
  Теорема Пифагора: Площадь:
  
• 
  Тригонометрические соотношения:
  
• 
  Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
  
• 
  Радиусы окружностей:
  
• 
  Высота, опущенная на гипотенузу:
  
• 
  Катеты:
  

Основные соотношения в треугольнике

• 
  Неравенство треугольника:
  

a + b > c; a + c > b; b + c > a

• 
  Сумма углов: 180°
  
• 
  Против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.
  
• 
  П ротив равных сторон лежат равные углы, и обратно, против равных углов лежат равные стороны.
  

Биссектриса


Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.

• 
  Биссектриса делит противолежащую сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам: a_b : a_c = b : c
  
• 
  Биссектриса делит площадь треугольника, пропорционально прилежащим сторонам.
  
• 
  
  

К
куб

онус

H



R
S_пол.= R(R+L)


Усеченный конус




Вписанная окружность

• 
  Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.
  
• 
  Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой: a + b = c + d
  

Описанная окружность
Касательная, секущая

• 
  Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам.
  
• 
  Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
  
• 
  Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобочная.
  
• 
  Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой:
  

Д лина окружности, площадь



Длина окружности:
Площадь круга:


Хорда
Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

• 
  Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде.
  
• 
  В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности.
  
• 
  Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:
  

Шар



Ш аровой сектор
Шаровой сегмент


Ц
Сектор – часть круга, ограниченная двумя его радиусами.
Длина дуги сектора:
Площадь сектора:
ентральный, вписанный угол
Сектор

Касательная, секущая


Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

• 
  
  
• 
  
  
• 
  
  

Призма





Прямая
призма


Цилиндр


Н

R

Медиана


Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• 
  Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника).
  
• 
  Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями.
  

Правильная пирамида


Правильная пирамида пирамида, у которой в основаниии правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.Все боковые рёбра равны между собой и все боковые грани – равные равнобедренные треугольники

.

Усеченная пирамида

Скалярное произведение

Скалярное произведение



С умма, разность векторов

У глы на плоскости





^






Перпендикулярность, коллинеарность
Перпендикулярные вектора:

Коллинеарные вектора:

Координаты вектора
Координаты вектора:


Длина вектора:


Умножение вектора на число:
С войства прямых и плоскостей


(SO) – перпендикуляр к плоскости (ABCD). O – проекция точки S.
– расстояние от точки S до плоскости (ABCD).
α – двугранный угол между плоскостями (SAB) и (ABCD).
Теорема о трёх перпендикулярах:

Функция	Значения
		00		300		450			600			900
cosx	1									0
sinx	0									1
tgx	0				1					-
ctgx	-				1					0

В ыпуклый четырёхугольник


Произвольный выпуклый четырёхугольник:

• 
  Сумма всех углов равна 360⁰.
  
• 
  Площадь:
  

Правильный многоугольник
Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.

• 
  О коло всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают.
  
• 
  Сторона правильного n–угольника:
  

Площадь правильного n–угольника:


П роизвольный выпуклый многоугольник


Произвольный выпуклый многоугольник:

• 
  Сумма всех углов равна
  
• 
  Число диагоналей:
  

Трапеция


Трапеция:Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие не параллельны, называется трапецией.

• 
  Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна: Площадь: