Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения:

Квадрат суммы
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Квадрат разности
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Разность квадратов
a² – b² = (a + b)(a – b)
Куб суммы
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Куб разности
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Сумма кубов
a³ + b³ = (a + b)( a² - ab + b²)
Разность кубов
a³ – b³ = (a – b)( a² + ab + b²)

Арифметическая прогрессия

Последовательность, у которой задан первый член , а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией:

a_n+1 = a_n + d, где d – разность прогрессии.
a_n = a₁ + d(n – 1); 2a_n = a_n-1 + a_n+1; a_n = a_k + d(n – k); a_n + a_m = a_k + a_l, если n + m = k + l
.
Геометрическая прогрессия
Определение: Последовательность, у которой задан первый член b₁  0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q  0, называется геометрической прогрессией:
b_n+1 = b_n q, где q – знаменатель прогрессии. b_n = b₁ q^{n – 1}; b_n = b_k q^{n – k}; b_n² = b_n-1 b_n+1.
b_n b_m = b_k b_l, если n + m = k + l ;
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Степень
Определение , если n – натуральное число a – основание степени, n - показатель степени
Формулы

Арифметический квадратный корень
Определение
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - ( - называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
; ; ; .
Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень которого равна a.
; ; ; ; ;
Квадратное уравнение:
ax² + bx + c = 0
Дискриминант: D = b² – 4ac если то уравнение не имеет корней ,
то уравнение имеет один корень х₁ , то уравнение имеет два корня .
Теорема Виета
Приведенное квадратное уравнение: x² + px + q = 0
x₁ + x₂ = - p x₁+x₂ = -b/a
x₁  x₂ = q x₁ x₂ = c/a
Логарифм
Определение
Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое , что .
a - основание логарифма (a > 0, a  1),
b - логарифмическое число ( b > 0)
Десятичный логарифм:
Натуральный логарифм: где e = 2,71828
Формулы

Дроби
Сложение Вычитание Умножение
Деление Составная дробь
Деление с остатком: Формула деления с остатком: n = mk + r, где n – делимое,
m - делитель, k - частное, r – остаток: 0  r < m
Пример: Любое число можно представить в виде: n = 2k + r, где r = {0; 1}
или n = 4k + r, где r = {0; 1; 2; 3}

	Признак	Пример
На 2	Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой	…….6
На 4	Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4.	……12
На 8	Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8.	…..104
На 3	Числа, сумма цифр которых делится на 3.	570612
На 9	Числа, сумма цифр которых делится на 9.	359451
На 5	Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5.	…….5
На 25	Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 25.	……75
На 10	Числа, оканчивающиеся нулём.	……0

Делимость натуральных чисел:
Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа.
Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m.
Число n называется простым, если его делителями являются
только единица и само число n.
Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}
Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общихделителей, кроме единицы.
Десятичные числа:

Стандартный вид: 317,3 = 3,173 10² ; 0,00003173 = 3,173 10^-5

Форма записи: 3173 = 3 1000 + 1 100 + 7 10 + 3
Модуль
Формулы Определение

• 
  x  0
  
• 
  x - y  x - y
  
• 
  -x=x
  
• 
  x  y = x  y
  
• 
  x  x
  
• 
  x : y =x : y
  
• 
  x + y  x + y
  
• 
  x² = x²
  

Неравенства
Определения:
Неравенством называется выражение вида:
a < b (a  b), a > b (a  b)
Основные свойства:


Модуль: уравнения и неравенства

1.
2.

3.
4.
5.
Периодическая дробь
Правило:
Признаки делимости чисел:
Проценты
Определение: Процентом называется сотая часть от числа. 1%A = 0,01A
Основные типы задач на проценты:
Сколько процентов составляет число A от числа B ?
B - 100%

A - x%

Сложные проценты.
Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%.
Как, в итоге, изменилось исходное число?

1. 
   A₁ = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A
   
2. 
   A₂ = (100% - 25%)A₁=75%A₁ = 0,75A₁ = 0,751,2A = 0,9A = 90%A
   
3. 
   A₁ – A = 90%A – 100%A = -10%A  Ответ: уменьшилось на 10%. Изменение величины.
   

Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?

 Ответ: уменьшится на 20%
 Ответ: уменьшится на 20%


Среднее арифметическое, геометрическое
Среднее арифметическое: Среднее геометрическое:
Уравнение движения
Пусть - уравнение движения материальной точки, где S – путь, t – время движения.
Тогда: , где – скорость, - ускорение.
Определенный интеграл
Первообразная элементарных функций

№	f(x)	F(x)		№	f(x)	F(x)
1				6
2
				7
3
4				8
5				9

Правила вычисления первообразной функции
Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если .

Функция	Первообразная

Правила вычисления производной функции

	Сложная функция:

Производные элементарных функций

№	Функция	Производная		№	Функция	Производная
1				6
2				7
3
				8
4
5				9

Равносильные уравнения:

Исходное уравнение		Равносильное уравнение (система)
	
	
	
	

Числовые множества:

Натуральные числа