І алгебра ұғымы туралы түсінік

1.1 Алгебра жалпы ұғым ретінде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Сандық өрнектер құруға үйретуде оқу есептерінің

қолданылуы және оларға талдау жасау . . . . . . .. . . . . . . .5

2.1 Математикалық өрнектер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Амалдар тәртібінің ережелерін оқып үйрену . . . . . . . . .17

2.3 Өрнектерді түрлендірумен таныстыру . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Әріпті өрнек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Теңдік, теңсіздік, теңдеулер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Есепті теңдеулер арқылы шығару. . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Қорытынды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Әдебиеттер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

КІРІСПЕ

Қазіргі заманның талаптарына сай еңбекке, қоршаған ортаға, қоғамға деген қарым - қатынастылықтар мен көзқарастарды қалыптастыру мектеп курсының барлық пәндерін оқыту процесінде жүргізіледі, орындалады. Алайда, осы бағытта математика пәнін алып қарастыратын болсақ, оның оқытудағы әдіс – тәсілді ерекшеліктеріне байланысты тәрбиелеуде өте қуатты құрал болып табылатынын сөзсіз.

Математиканың әр қадамы өмірдің қажетінен туады, сабақта қарастыратын көп есептер адамның практикалық дүниесіне байланысты. Сондықтан математикалық ұғымдардың нақты және тиімді болуы оқушылардың жеке тәрбиесіне байланысты, оқу жүйесіне қойыфлаын бірінші шарт – ол оқушылардың оқу процесі өмірімен байланысты болуы. Математикадан алған білім, біліктерін оқушылар тек еңбек және оқу әрекеттерінде қолданып қоймай, сонымен қатар мәдениеттің басқа салаларын да меңгертуге де пайдалануға болады. Математиканың тәрбиелік әсер етуі – оқушылардың бойында ой - өрісті, саналы ойлай білу ерекшеліктерін, өмірге деген көзқарастарын, танымдық ерекшеліктерін, патриоттылық сезімдерін оята отырып дамыту, қалыптастыруда үлкен роль атқарады. Ал, ондай жетістіктерге алгебралық материалдарды жетік меңгеру арқылы жеткізу мүмкін .

Дұрыс жолға қойылып шешілетін математикалық білім оқушының бойында өте бекем, орнықты ойлау қабілеттері мен дағдыларын қалыптастырады. Ешқандай, математикадан өзге пәндік сабақтар, оқушыға «дұрыстылық, дәлдік, әділеттілік» секілді бейтанысты тенденцияны ашып айқындап көрсете алмайды»

Нарықтық қатынастарға көшу кезінде іс - әрекетті тиімді ұйымдастыра білудің мәні өте жоғары. Оқушыларды осындай біліктілікке ие ету қажеттілігі оқытуды өмірмен байланыстыру және оқушыларды өндірістік еңбекке шығармашылықпен қатысуға даярлау талаптарынан келіп шығады.


І Алгебра ұғымы туралы түсінік

1.1 Алгебра жалпы ұғым ретінде

Біз жиындармен, пікірлермен, предикаттармен, сандармен және т.б. жүргізілетін операциялармен таныспыз. Демек бұл, операцияларды табиғаты әралуан кез-келген объектілермен жүргізуге болатындығын және бұл жағдайды оның көптеген жалпы қасиеттерінің сақталатындығын білдіреді. Сондықтан табиғаты әралуан объектілерге қолданылатын операцияларды бірізді көзқарас негізінде зерттеуді жүзеге асыру мақсатында және осыған мүмкіндік туғызу үшін берілген жиындағы алгебралық операция ұғымы енгізіледі.

Біз жиындармен, пікірлермен, предикаттармен, сандармен және т.б. жүргізілетін операциялармен таныспыз. Демек бұл, операцияларды табиғаты әралуан кез-келген объектілермен жүргізуге болатындығын және бұл жағдайды оның көптеген жалпы қасиеттерінің сақталатындығын білдіреді. Сондықтан табиғаты әралуан объектілерге қолданылатын операцияларды бірізді көзқарас негізінде зерттеуді жүзеге асыру мақсатында және осыған мүмкіндік туғызу үшін берілген жиындағы алгебралық операция ұғымы енгізіледі.

Біз әрбір нақты операцияның өз белгісі бар екендігін білеміз. Мысалы: қосу - “+” таңбасымен, азайту - “-” атңбасымен, көбейту - “х” немесе “.” таңбасымен, бөлу - “:” таңбасымен белгіленеді. Дербес жағдайларда амалдарды алгебралық операциялардың мысалы ретінде қарастырғанда, бұл таңбалар сәйкес амалдардың белгіленуі ретінде пайдаланылады. Бірақ та жалпы алғанда, алгебралық және дербес алгебралық операцияларды белгілеу үшін *, о, т және басқа шартты таңбалар қолданылады. Сондықтан z элементі (х,у) элементтерімен жүргізілген операцияның нәтижесі деген былай белгіленеді: х*у, хоу, хТу және т.б.

Алгебралық операцияның таңбасы компенентерінің арасына қойылады. Сонымен бірге бұл жазу операцияның нәтижесі – алгебралық операция берілген жиын элементтерінің реттелген парына сәйкес келетін оның үшінші элементін көрсетеді.

2. 
   Сандық өрнектер құруға үйретуде оқу есептерінің қолданылуы және оларға талдау жасау
   

Жиындарға қолданылатын амалдарды орындау барысында, балалар алдымен қосынды мен айырманың нақтылы мәндерін игереді, сондықтан 5+1, 6-2 түріндегі амалдардың таңбаларын олар «қосу, азайту» сөздерінің қысқаша белгісі ретінде түседі. Бұл кезде оқушылар сандық өрнек пен оның мәнінің теңдігі түрінде берілген қарапайым сюжеттік есептердің шешуімен танысады, мысалы 6+1 түріндегі. Он көлемдегі қосу және азайту амалдарын оқығанда осындай өрнектердің мағынасы кеңінен ашыла түседі.

Оқушыларды есептер шығара білуге үйрету қосу және азайту амалдары ұғымдарын меңгертумен, осы ұғымдардың кеңейе түсумен байланыстырып жүргізіледі. Бұл жұмыстар түрі жәнет формасы үздіксіз байланысты болады. Оқушылар сандық мысалдарды, дерексіз сандар арқылы берілген, кестелік түрде берілген сюжеттік мәтінді есептерді шығарады, кесінділердің ұзындығын өлшеуде орындалатын қарапайым амалдарды орындайды. өрнектердің дербес бір түрі ретінде «қосынды» және «айырма» атауларымен танысады, оларды бір-бірімен салыстыра білуге үйренеді. Осы кезеңде оқушылар «бірнеше бірлікке артық (кем)» ұғымдарымен танысады, «берілген саннан бірнеше бірлікке артық (кем)» болатын санды табуға берілген есептерді шығаруда бұл ұғымдарды қолдана білуге үйренеді.

Сонымен қатар «қаншасы артық (кем)?» сұрақтары бойынша айырманы табуға берілген есептермен де танысады. Мұндай есептерді шығару барысында 8-2, 8+3, т.с.с. түрдегі өрнектер құрылады және осы өрнектердің нақты мәндері кеңінен айқындала түседі. Қосу мен азайту амалындағы белгісіз компонентті табуға берілген есептерде, сондай-ақ, берілген саннан бірнеше бірлікке артық (кем) санды табуға берілген есептерде бұл өрнектердің нақты мағынасы одан әрі кеңінен ашыла түседі. Мұндай есептер «жүз көлемдегі сандар» тақырыбын өткен оқи және жанама формасында беріледі.

Бастауыш сыныптарда сандық өрнектерді оқи және жаза білуге үйретуге берілген есептермен жұмыс жасау әдістемесі ғылыми-әдістемелік журналдарда жарияланған бірнеше мақалаларда ашып көрсетілген. Бұл мақалаларда есептер мен өрнектер арасындағы байланыстарды ашып көрсетуге тырысқан, сандық өрнектердің нақты мағынасын ұғындыруды көздейтін жаттығулар жүйесін белгілеуге (тағайындауға), есептерді өрнек құру арқылы шығарудың және берілген өрнектер бойынша есеп құрастырудың жолдарын көрсетуге жұмыстанған. Алайда, бұл мақалаларда көрсетілген сюжетті есептер бойынша өрнек құру деп айтылатын есептер мен өрнектердің арасындағы байланыстың сипаталуы және жекелеген жағдайларда өрнектер бойынша есептер құру, сандық өрнек ұғымын қалыптастыратын жаттығулар жүйесі, сонымен бірге мәтінді есептермен жұмыс жасау тәсілдері бастауыш сыныптарда есеп шығару барысында сандық өрнектерді оқып-меңгеру әдістемесінің жеткілікті талдамасы (кейде қажетті деп те айтады) болып табылмайды.

Мұндай әдістеменің талдамасын дайындау үшін қажетті және жеткілікті шарттар деп төмендегі шарттарды атауға болады: біріншіден, сандық өрнек ұғымын кез - келген формада – мазмұнды, кестелік, сызбалық және аналитикалық - берілген есептердің математикалық құрлымы деп түсіну. Бұл әдістемелік талдама жасауда нақты амалдарды қарастыратын сандық өрнектердің байланыстарын неғұрлым кең түрде алып қарастыруға мүмкіндік береді. Екіншіден, сандық өрнектерді нәрселердің жиындары арасында орындалатын практикалық іс-әрекеттердің жазылуын қамтып көрсететін сандар арасындағы бір немесе бірнеше арифметикалық амалдардың жазылуы деп ұғынуы керек.

Осы аталған екі шарттың негізінде, есептерді шығаруға үйрену әдістемесін арифметикалық амалдарды меңгертудің және сандық өрнектер ұғымын қалыптастырудың әдістемесімен өзара тығыз байланыста құру керек. Мұнда оқушыларды сандық өрнектермен алғаш таныстыру нәрселер және олардың топтарымен істелетін практикалық іс әрекеттерден басталған жөн.

Есеп шығаруға үйретуде күшейтілген абстракциялау әдісінің қолданылуы әдістемелік талдама жасаудың үшінші шарты болып табылады, ал бұл есептің мәтіні бойынша ғана емес, оның кез-келген формада берілуі бойынша да өрнектер құруға мүмкіндік береді және керсінше, сандық өрнектер бойынша түрлі формада берілуі бойынша да өрнектер құруға мүмкіндік береді және керсінше, сандық өрнектер бойынша түрлі формада есептьер құрастыра білуге мүмкіндік береді.

Ал, мұның өзі оқушылардың сандық өрнектердің мағынасын ұғынуға және берілген сандық өрнектерден мағынасын ұғынуға және берілген сандық өрнектерден әр түрлі есептерде көрсетілетін, бізді қоршаған өмірден алынған және математикалық нақты жағдайларды тани білуге тәрбиелейді. Құрама есептерді шығару барысында күшейтілген абстракциялау әдісін қатынастар санын азайту әдісімен үйлестіріп, ойластырып, бірге қолдана білу кеорек.

Жоғарыда көрсетілген негізгі шарттарды басшылыққа ала отырып, сандық өрнектерді оқып үйренумен байланысты жай есептерді шығаруға үйретудің де әдістемелік талдамасын жасауға болады. Оқушылардың өрнектердің мәнін есептеп шығару үрдісінне оларды түрлендіруге үйретеді, мысалы: 10-7+5=3+5=8. Мұндай жазулар теңбе тең түрлендірулерге жасалған алғашқы қадам болып табылады. Басында бұл өрнектер амалдарды орындау тәртібімен таныстыруда пайдаланылады, кейінен өз алдына бөлек жаттығулар түрінде беріледі. «Жүз көлемдегі сандар» тақырыбын оқып үйренуде оқушылар күрделі өрнектердің мынадай түрлерімен танысады: (7+4)+3 12+(6+3) Бұл өрнектердің нақты мағынасын көрнекіліктер арқылы көрсетуге болады. Мұғалім қалталы жолаққа 10 дөңгелек қояды да, оқушылардан оның үшеуін алып тастауын сұрайды. Бұл әрекет 10-3 жазумен қосылады. Оқушылар мұғалімнің көмегімен жазылған өрнекті оқиды: «10 мен 3 айырмасы». Мұғалім айырманың көрнекі кескінделуін көрсетуді оқушылардан сұрайды, содан соң жолаққа тағы екі дөңгелекті әкеп қоюды ұсынады. Бұл әрекеттің жазылуын көрсетеді, яғни 10 мен 3 сандарының айырмасының қасына «+2» жазуын қосып жазады, сонда (10-3)+2 жазуы алынады.

Мұғалім енді оқушыларға алынған жазуды оқуды ұсынады. Оқушылар оқиды: «10 мен3 санына емес, 10 мен 3 сандарының айырмасына қосылатыны көрініп тұруы үшін жақша қойылады деп түсіндіріледі. Одан әрі мұғаліманің жетекшілігімен осындай жаттығулар орындалады. Осы мақсатта мына үлгідегі есептер қолданылады.

1. 
   Қалталы жолаққа 4 шаршы орналастырыңдар. Қасына
   

2. 
   Есепшоттың 9 тасын бір жағына ығыстырып
   

3. 
   Санау таяқшаларының көмегімен төмендегі
   

а) 6 мен 2 сандарының қосындысына 1 санын қос.

ә) 6 мен 2 сандарының қосындысынан 5-і азайт

б) 13 пен 6 сандарының айырмасын 2-і азайт.

10+(6+2) түріндегі өрнектермен оқушыларды

жоғарыдағыдай тәсілмен таныстыруға болады. Жақшасы бар өрнектер жөніндегі білімді бекітуді төмендегідей есеп шығару арқылы орындауға болады:

4. 
   Төмендегі өрнектерді жазыңдар және мәнін есептеңдер:
   

ә) 7 мен6 сандарының айырмасына 7-і қос

б) 16 дан 5 пен 2 сандарының қосындысын азайт

в) 6-ға 9 бен 4 сандарының айырмасын қос.

5. 
   Өрнекті оқыңдар және амалдарды орындаңдар:
   

Өрнектер жөнінен алынған білімдері сюжетті есептер шығаруда қолданылады. Осы мақсатта, көп жағдайда есептің қысқаша жазылуы жазылады да, ол бойынша өрнек құрылады. Алынған өрнектің мәнін есептеп табу берілген есептің шешуі болып табылады.

Екінші сынып оқушыларын екі амалмен шығарылатын есептермен таныстыру екі түрлі жолмен жүргізілуі мүмкін: жай есептерді шығару арқылы немесе бірден екі амалды есеп шығару арқылы. Екі амалмен шығарылатын есептерді көмегі арқылы таныстыруда берілгенде бір артық мәліметі бар жай есеп мысал бола алады. Есеп шығарылып болған соң, мұғалім оның сұрағына өзгертеді, бұл сұраққа жауап бере отырып, оқушылар екі амалды орындайды. Есеп бойынша өрнек құрастыруға есептің қысқаша жазылу және есепті шешу үрдісіндегі оны құра білу көмегін тигізеді.

Оқушыларды құрама есептермен, оларды шешуде өрнек құра білумен оқушыларды қалай таныстыруға болатындығын көрсетелік. Оқушыларға екі амалмен шығарылатын есеп ұсынылсын:

• 
  Айшада 5 амал бар еді. Апасы оған тағы 2 алма береді. 3 алманы Айша жеп қойды. Сонда Айшада қанша алма қалды?
  

Айшада 4 алма қалғаны қалай есептеп білдіңдер? (5-ке 2-ні қотық, шыққан 7 санынан 3-ті азайттық, сонда 4 қалды).

• 
  Есептің шешуін тақтаға жазайық. Алдымен қандай амалды орындадыңдар? (5-ке 2-ні қостық). Мұғалім тақтаға 5+2 деп жазады.
  
• 
  5 және 2 сандарының қосындысы нені білдіреді? (Айшада қанша алма болғанын білдіреді).
  
• 
  Айшада қанша алма болды? (7 алма).
  
• 
  Есептемес бұрын Айшаның қанша алмасы болғанын қалай айтамыз? (5+2).
  
• 
  Есепті әрі қарай қалай шығарамыз? (7-ден 3-ті азайтамыз).
  
• 
  Алманың қанша екенін білдіретін саннан 3-ті азайтамыз: 5+2-3.
  

Әрі қарай шешуші жазылады: 5+2-3. Оқушылар осылайша екі амалмен шығарылатын есеппен және жақшасыз өрнек құрумен танысады. оҚушыларды жақшасы бар өрнек құру арқылы шығарылатын есептермен таныстыру үшін мынадай есеп құрастыруға болады:

Алмастың 6 жазу дәптері және 2 есеп дәптері бар еді. Ол 4 дәптерді пайдаланып қойды. Алмастан неше дәптер қалды?

Мұғалім есептің берілген қайталаған соң, әңгіме жүргізеді:

• 
  Есепте қандай дәптерлер туралы айтылып тұр? (Алмаста бар болған дәптерлер, пайдаланған дәптерлер және қалаған дәптерлер туралы).
  
• 
  Есептің шартын қысқаша жазу үшін қандай тірек сөздерін таңдап аламыз? («Болады», «пайдаланды». «қалды»).
  
• 
  Мұғалім тақтаға бұл сөздерді жазады:
  

Пайдаланады-

Қалды-

Әңгімені жалғастырады:

• 
  Алмаста қанша дәптер болды? (6 жазу дәптері және 2 есеп дәптері).
  
• 
  Өрнек түрінде оны қалай жазамыз? (6+2)
  
• 
  Алмас неше дәптерді пайдаланды? (4 дәптер).
  
• 
  Оның неше дәптері қалды? (Белгісіз, табу керек).
  

Болады – 6+2

Пайдаланды – 4

Қалды - ?

Осы қысқаша есеп шартының жазылуынан «болды», «пайдаланды», «қалды» сөздеріне сәйкес берілген сандардың (өрнектердің) қай амалдың, қандай компоненттері болатынын білу қажет.

Сөйтіп, қарастырылып отырған есепті шығару жұмыстарын жалғастыра отырып, мұғалім оқушылардан егер сандар «болды», «пайдаланды», «қалды», сөздермен беріліп тұрса, қандай амалды орындауды керек деп сұрайды. Оқушылар бұл жағдайда азайту амалының орындалатынын біледі. Мұғалім азайту амалындағы сандардың қалай аталатындықтарын оқушылардан түсіндірулерін сұрайды (азайғыш, азайтқыш, айырма) және осы атауларды есеп шартының қысқаша жазылуына тіркеп жазады, сонда ол мынадай түрге келеді:

Болады - 6+2 (азайғыш)

Пайдаланды - 4 (азайтқыш)

Қалды - ? (айырма)

Енді мұғалім оқушылардан есептің шартының қысқаша жазылуының дерексездірілінген формада оқуды ұсынады (басқаша айтқанда, азайту амалының компоненттерінің атаулары және нәтижелері бойынша оқуды) ұсынады. Оқушылар оқиды: «Азайғыш-6 мен 2 сандарының қосындысы, азайтқыш –4-ке тең. Айырма табу керек». Есептің осы формада берілумен оқушылар сандық өрнекті оңай құра алады: (6+2)-4.

Мұғалімнің нұсқауы бойынша оқушылар өрнекті оқиды және әрбір сандардың немесе өрнек есептің берілуі бойынша нені білдіретінін түсіндіреді, содан соң өрнектің мәнін есептейді, сонымен есепті шешу аяқталады. Әрі қарай мұндай түрдегі есептер осындай жоспармен шығарылады, бірақ онда есепті талқылау, талдау бірте-бірте қысқара түседі. Ең соңында оқушыларды есептің мәтіні бойынша тікелей өрнек құруға үйрету ақырғы мақсат болып табылады.

Есеп күрделене түскен сайын оқушылар есепті талқылаудың осы үлгісіне қайта-қайта оралып отырады. Үлгіні мынадай түрде ұсынуға болады:

1. 
   Есепті оқимын да, тірек сөздерін табамын. Бұл сөздерді баған түрінде жазамын, қасына сандарды тіркеп жазамын.
   
2. 
   Тірек сөздеріне қарап есепте берілген сандардың қандай амалмен байланысты екенің анықтаймын. Осы амалдағы сандардың аталуын есіме түсіндірем де, оларды қысқаша жазылуы тіркеп жазамын.
   
3. 
   Есептің шартының қысқаша жазылуы бойынша есепті дерексездірілінген түрде оқимын және өрнекті жазамын.
   
4. 
   Өрнектің мәнін есептеймін және есептің сұрағына жауап беремін.
   

1969 жылғы бағдарламаға сәйкес математиканың сәйкес математиканың бастауыш курсында алгебра әлементтерді енгізіледі. Алгебралық материал 1-ші сыныптан бастап арифметикалық, шама және геометриялық материалдармен тыыз байланыста оқылады.

Алгебра элементтерін енгізу сан, арифметикалық амалдар, математикалық қатынастар туралы ұғымдарды жалпылауға көмектеседі, сонымен қатар балаларды келесі сыныптарда оқуға дайындалады. Негізгі алгебралық ұғымдарға курста «санды теңсіздік және теңдік», «өрнек», «сандық өрнектің мәні», «әріпті өрнек», «әріпті өрнектің мәні», «әріптің әрбір мәніне өрнектің бір ғана мәнінің сәйкес болатындығы», «қарапайым теңдеулер және оларды шешу тәсілдері», «алгебралық тәсілмен есептер шығару» және тағы басқалар жатады.

Бұл ұғымдарды бастауыш сыныптарда анықтама берілмейді, олар көрнекілік, жаттығулар арқылы қалыптастырылады.

Тақырыпты оқытып үйретудің міндеттері:

1. 
   Теңдік, теңсіздік ұғымымен таныстыру;
   
2. 
   Өрнектерді оқи, жаза және салыстыра білу біліктерін қалыптастыру;
   
3. 
   Санды өрнектермен жүргізілетін жұмыстардың табиғи жалғасы ретінде қарапайым әріпті өрнектерді бір – бірімен ажырату, оларды оқу, жазу және құру, әріпті өрнектің берілген мәнінде мәнін табу жайында түсінік қалыптастыру, тәжірибе жинақтау.
   
4. 
   Алгебра элементтерінің ішінде дидактикалық тұрғыдан алғанда аса маңыздысы – теңдеу жайында түсінік беру және оны шешудің тәсілдерін оқытып – үйрету.
   
5. 
   Жақша, амал ретімен оқытып үйрету. М-2,40 бет, М-3, 24 б.
   
6. 
   Есепті алгебралық тәсілмен шешудің мән мағанасын ашу. Теңдеулер құруға келтірілетін арифметикалық есептер шығару. М-2, 35 бет, Тапсырма 3.
   

Арифметикалық амалдың компоненті немесе нәтижесінің санды өрнек түрінде болып келуі мүмкін теңдеулер құрылатын есептер ұсынылады. Мұнда құрама есепті тңдеу жәрдемімен шығару көрсетіледі. М-3, 153 бет, Тапсырма 3.

Теңдеулер құру мүмкін құрама есептер қарастырылады. Оларды шығару барысында алгебралық тәсілді енгізу және оның мәнді ерекшелігі мен артықшылығн нақты көрсетіп беру қажет. М-3, 161, 181-183 бет Тапсырма 5;3.

Теңдеулерді шешу тәсілдердін қарастыратын ретпен оқытып үйрету және олардың көмегімен есеп шығаруды қарастыру бастауыш буын оқушыларын келесі сыныптардың талабына сай дайындауды қамтамасыз етеді. Өйткені олар теңдеуді шешуге дағдыланады және теңдеу құру арқылы есеп шығарудың тәсілінің мән – мағанасы, ерекшелігі жайында бастама түсінік алды. Соның нәтижесінде алгебра элементтерін оқытудың басты мақсатына жетудің негізі қаланады.

2.1 Математикалық өрнектер

Математика программасы бойынша І-ІІІ кластарда балаларды математикалық өрнектерді оқуға және жазуға үйрету; амалдарды орындау тәртібімен таныстыру және есептеулерде оларды пайдалануға үйрету, оқушыларды өрнектерді теңбе-тең түрлендіру мен танстыру жағы қарастырылады.
Балаларда математикалық өрнек жайлы түсінігін қалыптастырғанда сандар арасында қойылған амал таңбасының екі түрлі мағанасы бар екендігін ескеру қажет: ол бір жағынан сандар арасына қойылған амал таңбасының екі түрлі мағанасы бар екендігін ескеру қажет: ол бір жағынан сандар қолданылатын амалды білдіреді (мысалы, 6+4 алтыға төртті қосу); екінші жағынан амал таңбасы өрнекті белгілеу қызметін атқарады (6+4 6 мен 4 сандарының қосындысы).

Төменгі класс оқушыларының өрнек жайындағы түсінігі арифметикалық амалдар туралы ұғыммен тығыз байланыста қалыптасады және оларды жақсы игерулеріне көмектеседі.

Өрнектермен жұмыс әдістемесінде екі кезең қарастырылған. Олардың біріншіснде қарапайым өрнектер (екі санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі, бөліндісі) туралы ұғым, ал екіншісінде күрделі өрнектер ( көбейтінді мен санның қосындысы, екі бөліндінің айырмасы т.б.) туралы ұғым қалыптастырылады.

Бірінші өрнекпен – екі санның қосындысымен таныстыру І класта 10 көлемінде қосу және азайтуды оқығанда болады.

Жиындармен операциялар орындағанда балалар алдымен қосу мен айырманың нақты мағынасын меңгеріп алады, сондықтан 5+1, 6-2 түріндегі жазуда амалдардың таңбаларын олар «қосу». «азайту» сөздерінің қысқаша белгісі ретінде түсінеді. Бұл есепті ауызша оқығанда айқындалады (беске бірді қосқанда алты болады; алтыдан екіні шегергенде төрт қалады). Алдағы уақытта бұл амалдар туралы түсінік тереңдей түседі. Оқушылар санға бірнеше бірлікті қосқанда, сонша бірлікке артатынын, ал бірнеше бірлікке азайтқанда, сонша бірлікке кемитіні алдағы уақытта біледі. Бұл да жазулардың жаңа формасында айқындалады (4-ті 2-ге арттырса, 6 шығады; 7-ні 2-ге кемітсе, 5 шығады). Содан кейін балалар «плюс», «минус» амалдар таңбаларының аттарын білетін болады және амалдар таңбаларын атай отырып, мысалдарды оқиды (4 қосу 2 алтыға тең болады, 7 азайту 2 беске тең болады).

Компоненттердің және қосу амалы нәтижесінің аттарымен таныса отырып, оқушылар қосудың нәтижесі болып табылатын санды белгілеу үшін «қосынды» деген терминді пайдаланады.

Санды (азайтқышты) екі санның қосындысы түрінде жазу іс жүзінде қажет болған жағдайда 9-7 түріндегі азайту әдісін оқып үйрену алдында оқушыларды математикалық өрнекпен екі санның қосындысымен таныстырады. Қосудағы сандардың аттары жөніндегі балалрдың біліміне сүйене отырып, мұғалім «қосу» таңбасымен қосылған екі саннан тұратын қосуға берілген мысалдардың жазуы «тең» таңбасының екінші жағында тұрған сан сияқты аталады (9-қосынды, 6+3-те қосынды). Көрнекі түрде ол былай кескінделеді:

6+3 = 9

Балалар «қосынды» деген терминнің жаңа мәнін өрнектің мәні ретінде меңгерулері үшін мынандай жаттығулар беріледі: «сандардың (мысалы, 7 мен 2 ) қосындысы жазыңдар; сандардың (3 пен 4 ) қосындысы неге тең екенін есептеңдер; жазуды (мысалы, 6+3) оқыңдар, қосынды неге тең екенін айтыңдар; санды сандар қосындысымен алмастырыңдар (мысалы: 9 =   ); Сандардың қосындысын салыстырыңдар (мысалы, 6+3 және 6+2), олардың қайсысы көп екенін айтыңдар, «>» таңбалы таңбасымен жазыңдар және жазуды оқыңдар». Осындай жаттығуларды орындау процесінде оқушылар «қосынды» терминінің екі түрлі мағанасын біртіндеп түсіне бастайды: сандардың қосындысын жазу шін оларды «плюс» таңбасымен қосу керек; қосындысының мәнін табу үшін берілген сандарды қосу керек.

Мына өрнектермен орындалатын жұмыс та шамамен осындай тұрғыда жүргізіледі: екі санның айырмасы (І класс), көбейтіндісі және бөліндісі (ІІ класс ). Алайда енді осы терминдердің әрқайсысы амал нәтижесінің аты ретінде де және өрнектің аты ретінде де бірден енгізіледі. Өрнектерді оқу және жазу, олардың мәнін сәйкес амалдардың көмегімен таба білу қосындыға берілген жаттығу сияқты жаттығуларда көп рет орындау процесінде қалыптасады.

10 көлемінде қосу және азайтуды оқығанда үш және одан да артық сандардан тұратын , амалдардың бірдей немесе әр түрлі таңбаларымен қосылған мына түрдегі өрнектер қосылады: 3+1+1, 4 -1 -1, 2+2+2+2, 7 - 4+2, 6+3 - 7. Осындай өрнектердің мағынасын айқындай отырып, мұғалім оларды қалай оқитындығын көрсетеді ( мысалы, үшке бірді қосу керек және алынған санға тағы бірді қосу керек ). Бұл өрнектердің мәндерін есептеп шығара отырып, оларға тұжырымдама жасамаса да, балалар ісжүзінде жақшасыз берілген өрнектерге амалдар қолдану тәртібін игереді. Бұдан біраз кейін балаларды өрнектерді есептеп шығару процесінде оларды түрлендіруге үйретеді, мысалы: 10-7+5=3+5=8. Мұндай жазулар теңбе-тең түрлендіруге жасалған алғашқы адым болып табылады.

Бірінші класс оқушыларын 10-(6+2), (7-4)+5 т.б. түріндегі өрнектермен таныстыру оларды санды қосындыға қосу, санды қосындыдан шегеру т.б., құрама есептердің шешуін жазу ережесін үйренуге дайындайды, сондай-ақ өрнек ұғымын тареңірек меңгеруге көмектеседі.

Оқушыларды 10+(6-2), (5+3) – 1 түріндегі өрнектермен таныстыру методикасы әр түрлі блады. Оқушыларды үлгісіне қарай отырып, ұқсастық бойынша дайын өрнектерді оқуға және амалдар тәртібін түсіндіре отыры, өрнектердің мәндерін есептеп шығаруды бірден үйретуге болады. Нақты мысалдарды қарастыра отырып, мұнда сандардың қосындысын (айырмасын) қосатынын, не азайтатынын, сондықтан қосындыны (айырманы) жақша ішіне алып, әуелі қосынды (айырма) неге тең екенін есептеп шығарылады, содан кейін ғана осы шыққан санға амал қолданатынын балаларға көрсету керек.

Балаларды осы түрдегі өрнектермен таныстырудың басқа да жолы бар, ол - осы өрнектерді берілген саннан және қарапайым өрнектен оқушылардың өздерінің құруы. Осындай методика қолданылатын сабақтан үзінді келтірейік:

Д а й ы н д ы қ ж а т т ы ғ у л а р

М ұ ғ а л і м. Ауызша есептейсіңдер. 6 мен 10 сандарының қосындысына 1 – ді қосыңдар.

О қ у ш ы. 17 шықты.

М ұ ғ а л і м. Алдымен нені таптыңдар?

О қ у ш ы. 6 мен 10 сандарының қосындысын.

М ұ ғ а л і м. Ол неге тең?

О қ у ш ы. 6-ға 10-ды қосу керек, 16 болады.

М ұ ғ а л і м. Одан кейін не істедіңдер?

О қ у ш ы. 16-ға 1-ді қостық, 17 шықты.

Мына тапсырмалар да осылай қарастырылады: 1) 2 санына 6 мен 4 сандарының қосындысын қосу керек ; 2) 10 мен 7 сандарының айырмасына 3 –ті қосу керек ; 3) 8-ден 6 мен 2 сандарының айырмасын шегеру керек.

Бұдан әрі тақтада жазылған өрнектерді салыстыру жұмысы жүргізіледі; «>» ,«<» таңбасын қою керек: 17-7*11, 15+1*5+10, 17-1* 17-10. Оқушылар жаттығуларды дәптерлеріне орындайды. Содан кейін тақтаға шақырылған оқушылар тақтаға керекті жазуды жазып, оны, мысалы бірінші тапсырманы, түсіндіреді:

О қ у ш ы.17 және 7 сандарының айырмасын 11 санымен салыстырамыз. 17 мен 7 сандарының айырмасы 10-ға тең (екінші жолға жазады), ал мұнда бізде 11 (оны жанына жазады), 10 саны 11-ден кем («<» таңбасы қойылады ), демек, 17 мен 7 сандарының айырмасы 11-ден кем.

Содан кейін мұғалім қалталы полотноға 5 және 2 цифрларын « +» және «-» таңбаларын қыстыпады да, осы сандарды және таңбалардың қандай да біреуін пайдалынып, мысалдар құрыңдар деп тапсырма береді.

О қ у ш ы. 5 плюс 2.

М ұ ғ а л і м. ( жазады.) Сен нені құрдың?

О қ у ш ы . 5 пен 2 сандарының қосындысын.

М ұ ғ а л і м. Осы сандармен басқа қосындыны кім құра алады?

О қ у ш ы. 2 мен 5 сандарының қосындысын (жазады).

М ұ ғ а л і м. Енді тағы нені құруға болады?

О қ у ш ы. 5 пен 2 сандрының қосындысын.

Жаңа материалмен жұмыс істеу.

Мұғалім қалталы полотонға 5+2 жазуы бар қағазды қыстырады, екінші хатарға 10 санын, үшінші қатарға «+» таңбасын таныстырады.

Мұғалім. Осы қосындыдан, 10 саны мен «+» таңбасынан жаңа мысал құрып көріңдер.

Шақырылған оқушы тақтаға 10+5+2 деп жазады. Мұғалім балаларға мысалдың 10 саны мен 5 пен 2 сандарының қосындысынан құрылғандығын ескерте отырып, жазуды оқуды ұсынады. Мұғалімнің көмегімен балалар 10 санына 5 пен 2 сандарынның қосындысын қосу керек деп оқиды.

Мұғалім. 5пен2 сандарының қосындысын анық көрсету үшін, сондай-ақ басқа сандармен араласып келетін мысалда ол ерекше көзге түсуі үшін оны жақшаға алып жазады (жақшаларды қойып, оларды қалай жазатынын түсіндіреді). Жақшада не жазылған?

О қ у ш ы. 5 пен 2 сандарының қосындысы.

М ұ ғ а л і м. Бұл қосынды қандай санға қосылған?

О қ у ш ы. 10 санына.

М ұ ғ а л і м. Осы жаңа мысалды бәріміз бірге оқиық (бәрі бірдей дауыстап оқиды). Оны жазыңдар және егер 10-ға 5 пен 2 сандарының қосындысын қосса, қанша болатынын есептеп шығарыңдар. Қалай шығарғанын кім түсіндіреді?

О қ у ш ы. 5 пен 2 сандарының қосындысы 7-ге тең. 10-ға қосса, 17 шығады.

М ұ ғ а л і м. Дұрыс, әуелі сандардың қосындысын табамыз, содан кейін оны 10-ға қосамыз. Осы қосындыдан, 10 саны мен «+» таңбасынан, кім бақа мысал құрастырады?

Бірінші оқушы 5+2+10 деп жазады; ал екінші оқушы жақшаларды қояды: (5+2)+10.

М ұ ғ а л і м. Сен неліктен жақшаларды қойдың?

О қ у ш ы. Бұл қосынды, оны жақша ішіне жазу керек.

М ұ ғ а л і м. Бұл есепті жазыңдар, оны шығарыңдар және оны дұрыс оқуға дайындалыңдар (бірнеше оқушы мысалды оқиды).

Бұдан кейін балалар өрнектерді құрады, оқиды және олардың мәндерін табады: 10-(5+2), 10+(5-2), (5-2)+10.

О қ у ш ы. Сендер сабақта неге үйрендіңдер?

М ұ ғ а л і м. Жақшасы бар мысалдарды шығаруға үйрендік.

Осылайша жасағанда оқушылар здері жаңа рнектерді құра отырып, олардың құрлымын жақсы түсінетіндігі, өрнектерді оқудың жазудың және олардың мәндерін есептеп шығарудың ерекшеліктерін меңгеретіндігін көрініп тұр.

Алдағы уақытта түрлі жаттығулар процесі кезінде бірінші клас оқушылары осындай рнектердің мәндерін оқи, жаза және таба білуді біртіндеп игеретін болады.

Өрнектерді құру және олардың мәндерін таба білуді оқушылар құрама есенптерді шығарғанда падаланады, есептердің шешулерінің жазуындағы рнектердің нақты мағынасын түсінеді. Бұл тұрғыдан алғанда мынадай жаттығу пайдалы: есептің шарты беріледі, мысалы: «Баланың 24 тиыны бар еді, балмұздақ 12 тиын, ал кәмпит 6 тиын тұрады.» баллар бұл жағдайда мына өрнектер нені білдіретінін түсіндіреді:

І класс ІІ класс

24-12 12+6 12:6 12+6·2

24-6 24-(12+6) 24-6 24-6·3
ІІ класта бұрын қарастырылған өрнектермен қатар екі жай өрнектерден тұратын өрнектер, мысалы: (50+20)+ (30+10). Сондай-ақ сан мен көбейтіндіден немесе екі санның бөліндісінен тұратын өрнектер енгізіледі, мысалы: 7·3-5, 27:9+17. Амалдарды орындау тәртібі олардың жазумен сәйкес келмейтін жерде жақша пайдаланылады: 16+(8:4), 50-(3·9). І кластағы сияқты, балалар осындай өрнектерді оқуға және жазуға жаттығады, есептеулерді түсіндіре отырып, олардың мәндерін табады. Мысалы, 50 санынан 3 пен 9 сандарының көбейтіндісін шегеру керек, әуелі 3 пен 9 сандарының көбейтіндісі (3·9═27) неге тең екендігін табамыз, содан кейін 50-ден 27-ні шегереміз.

ІІ класта «математикалық өрнек» және «математикалық өрнектің мәні» терминдері енгізіледі (анықтамасыз). Бірнеше мысалды бір амалға жазғаннан кейін мұғалім бұл мысалдар басқаша түрінде математикалық өрнектер деп аталатындығын хабарлайды. Мұғалімнің тапсырмасы бойынша балалардың өздері түрлі өрнектер құрастырады. Мұғалім нәтижені есептеп шығаруды ұсынады және нәтиже дегеніміз басқаша математикалық өрнектердің мәндері деп аталатындығын түсіндіреді. Содан кейін бұдан гөрі күрдерілек математикалық өрнектер қарастырылады. Аллдағы уақытта түрлі жаттығуларды орындағанда әуелі мұғалім, содан кейін балалар жаңа терминдерді қолданады ( өрнектерді жазыңдар, өрнектердің мәнін табыңдар, өрнектерді салыстырыңдар т.с.с.).

Күрделі өрнектерде қарапайым өрнектерді қосатын амалдар таңбаларының да екі жақты мағынасы бар, оны оқушылар біртіндеп айқындай түседі. Мысалы, 20+(34-8) өрнектерде «+» таңбасы 20 саны мен 34 және сандарының айырмасына қолданатын амалды білдіреді (20-ға 34 пен 8 сандарының айырмасын қосу керек). Сонымен қатар «+» таңбасын қосындыны белгілеу үшін қолданылады, бұл өрнек – бірінші қосылғышы 20-ға тең, ал екінші қосылғышы 34 пен 8 сандарының айырмасы арқылы өрнектелген қосынды.

Балалар ІІ класта күрделі өрнектердегі амалдарды орындау тәртібімен танысқаннан кейін жеке компоненттері өрнектермен берілген қосынды, айырма, көбейтінді, бөлінді ұғымдарын қалыптастыруға кіріседі.

Балаларды осындай өрнектермен таныстыру методикасы әр түрлі болуы мүмкін. Балалармен бірге берілген өрнектерді қарастыруға болады және әр өрнектің құрлымына талдау жасау негізінде оларды оқудың жаңа формасымен таныстыруға болады. Мысалы, балалар мынадай өрнекті жазады: 30-ға 5 пен 4 сандарының көбейтіндісін қосып мәнін табады.

М ұ ғ а л і м. Бұл өрнекте қандай соңғы амал орындалған?

О қ у ш ы. Қосылатын сандар қалай аталатынын естеріңе түсіріңдер.

О қ у ш ы. Қосылатын сандар қосылғыштар деп аталады

М ұ ғ а л і м. Екінші қосылғыш қалай өрнектелген?

О қ у ш ы.Екінші қосылғыш 5 пен 4 сандарының көбейтіндісімен өрнектелген?

М ұ ғ а л і м. Демек, барлық бұл өрнекті қосынды деп атауға болады, бірінші қосылғыш 30, екіншісі 5 пен4 сандарының көбейтіндісімен өрнектелген. Өрнекті тағы бір рет оқып, қосылғыштардың астын сызыңдар.

Бұдан кейін осылайша басқа өрнектер қарастырылады, мысалы: 70-40:10, (6+4):9,2·(6+4) т. с. с.

Оқушылар өрнектерді өздері құрастырған жағдайда жоғарыдағыдай өрнектермен таныстырудың басқа да жолы болуы мүмкін. Мысал, 24+16 сандарының қосынндысын алады. Балалар қосылғышты (24) сандардың онымен тең көбейтіндісімен алмастыруды ұстанады: Жаңа қосынды пайда болады: 6·4+16. Кез келген қосылғышты көбейтіндісімен немесе басқа өрнекпен алмастыруға болады.

Алдағы уақытта өрнектерді оқуға, құруға және жазуға көпрет жаттығу процесінде оқушылар біртіндеп күрделі өрнектің (2-3 амалдан тұратын) түрін тағайындау дағдысын игеретін болады. Бұл жұмысты коллективті түрде құрылатын схема едәуір жеңілдіктерді және мынадай өрнектерді оқығанда пайдаланылады:

1. 
   қандай амал ең соңымен орындалатын тағайындау керек;
   
2. 
   осы амалды орындағанда сандар қалай аталатынын еске түсіру керек;
   
3. 
   бұл сандар қалай өрнектелгенін оқу керек.