И. П. Рустюмова? T. A. Кузнецова
жүктеу/скачать 10,32 Mb. Pdf көрінісі
|
Р устюмова 2005
| Функция и ее свойства
397 г 1. Задание: Найдите область определения фу нкции у = —----- . Решение: х + х У = - г -— ; D {yY х 3+ х * 0 ; д г+ х . х (х + 1) * 0; х * 0. Ответ: D(y) = (-оо; 0 ) U (0; оо). Замечание. Задающее функцию у выражение можно было бы упростить: X X 1 х Ч х х (х 2 + 1) х 2 + Г Полученное выражение определено для всех х, т.е. упрощение приводит к расширению области определения. Поэтому, правильнее находить D (у), не упрощая выражения для/(х). 1 + х* 2. Задание: Найдите область определения функции у = arcsin------- . 2х Решение: . 1 + х 2 Т “ " ц ! а . у = arcsin---- . 2х Согласно п. 7, имеем l + i 1 Z>(y): - 1 < ^ < 1; 2х Решением системы неравенств будут лишь две точки -1 и 1 . Ответ: D (у) = { - 1; 1 ). ______ 3. Задание: Найдите область определения функции у = л/ 2 - 3 ' . Решение: у - V 2 J - 3 * . 398 Учитывая п.2, получим: D(y): 2х - 3х > 0; 2х > 3х | : 3х > 0; f i b . ; - I >1 - т.к. 0 < — < 1, х < 0. Ответ: D(y ) = ( - оо; о ]. Область определения суммы, разности, произведения двух или нескольких функций есть пересечение областей определения этих функций. Для ее на хождения составляется и решается система соответствующих условий. J — г 1 4 Задание: Найдите область определения функции у = 0,5 Решение: у = 0 , 5 ^ + — х - 1 С учетом п. 1,2 и 3 область определения данной функции найдем из системы: [ 4 - х 2 > 0, f ( x - 2 X * + 2 ) < 0 , j g 2 § j х < 2, [ х - 1 * 0; [х * 1; (х * 1. Ответ: D(y ) = [ - 2; l)U (l; 2]. 5. Задание: Найдите область определения функции: У = 1 л/ 14 + 5 х - х 3 Решение: ? + -Jx2 - х - 2 0 У - 1 V l4 + 5 x - x 2 + -Jx2 - х - 2 0 ; D(y): х2 - х - 2 0 SO, 14 + 5 x - x z > 0; (х + 4 ) ( х - 5 ) > 0 , Ответ: D (у) = [5 ; 7). / ч ч ч Ч ч ч \ -4\ ^ — 4- ''у , 5 X '_ ///) 7 х 399 6. Задание: Найдите наименьшее целое х из области определения функции y = yl4x-x2 lg(x 2 - l ) . Решение: у = y j4x-x2 ■ lg(x 2 - 1 ); . f 4х — х2 > О, Гjc(jc — 4 ) < О, D(y): 1 х 2 - 1 > 0 ; ( ( x - 1 ) ( jc + 1 ) > 0 . 4- 4 х ч ч ч Ч \ ч \ /У У у ь '-Т 1 X Наименьшим целым числом из области определения функции является х=2. Ответ: х = 2. 1.Задание: Найдите область определения функции у = Решение: ■Jx2 - 2х log5( x - l ) У = D(y ): ■Jx2 - 2х log5( x - l ) ’ х2 - 2 х > 0, х -1 > 0, log5(x - 1 ) ф 0; х(х - 2) > 0, х>1, х ф 2 . Область значений функции Часто при исследовании функции важно знать не только область опреде ления, но и область значений функции, т.е. в каких границах может изменяться сама функция. 400 Все значения, которые принимает функция, называют областью значений функции. Для области значений функции у - f ( x ) принято обозначение Е (у). Для нахождения области значений функции пользуются следующим приемами: 1. использование графика функции; 2. использование аналитических рассуждений; 3. использование ограниченности функций у = sin х, у = cos дс; 4. применение производной (данный прием рассматривается в §3). Рассмотрим решение некоторых задач на нахождение множества значе ний функции. /. Нахождение области значений функции по ее графику В случаях квадратичной или показательной функций удобнее схематично изобразить график данной функции, а затем определить область значений фун кции. 8. Задание: Найдите область значений функции: а ) у -х 1 -2 х + 10 ; б )у = -х * + 5 х - 9 . Решение: а) у =f. х2—2 х + 10. пу Графиком данной функции является парабо ла с вершиной А(х0; у0) . Координаты вершины находятся по формулам: х0 = ------ ,у 0 =у(х0). Так 2а как ветви параболы направлены вверх, вершина х У б ) у = - х 2 + 5 х - 9 . 2.5 Координаты вершины параболы (2,5; -2 ,7 5 ). Ветви параболы направлены вниз, значит в вер шине находится максимальное значение, т.е. х £Су)=(-оо;-2,75]. 9. Задание: Найдите область значений функции^= 3 - 0,4*. Решение: 401 График функции у = - 0 ,4 х + 3 можно построить из графика функ ции^ = 0,4* (изображен штриховой линией) двумя последовательными преобразованиями: симметрией от носительно оси Ох и параллельным переносом вдоль оси Оу вверх на 3 единицы. £(у) = (-оо;3). 2. Н ахождение области значений функции аналитическими рассуждениями Множество Е ( / ) значений функции может быть описано как совокуп ность всех значений а е R , при которых уравнение f i x ) = а имеет решения. 10. Задание : Найдите множество значений функции: о)у = 1 х + 1’ 2х б )у = - г - х + 1 Решение: ° ) у = — г; Х + 1 х+1 х + 1 = —; а 1 - а в)у = л/ 2 х - х 2; д)у = lg(5x2 - 8х + 4). Уравнение имеет решение при а Ф 0. £(>>) = (-оо; 0 )U ( 0 ;oo) л 2х б) у = Е(у): х + 1 2х = а; х2 + 1 2х = ах2 + а. 402 При а * 0 уравнение ах2 -2 х + а = 0, имеет корни, когда D > 0, т.е. 4 - 4а2 > 0 . Значит, Е(у) = [ - 1 ; 1]. в) у = л/2х-х2; ЕХу): - J l x - x 2 = а, а > 0; х2 -2 х + а2 = 0. D = 4 - 4а2 > 0 при а е [-1 ;1 ]. Учитывая условие а > 0, получим а е [0; l]. д) у = lg(5x2 - 8 х + 4 ); Е(у): lg(5x 2 - 8 х + 4 ) = о; 5xJ - 8 x + 4 = 10e; 5х 2 - 8 х + ( 4 - 1 0 в) = 0. Уравнение имеет решение, если D 1 0. 1 6 - 5 ( 4 - 1 0 в) £ 0 ; 5 -10° > 4; Е(у) = [0; 1]. Это уравнение имеет решение, если 3 - а2 > 0 , т.е. а € (- ->/3; >/з). Учитывая условие а > 0, получим Е(у) = [0;л/з). 4 10 ' 2 - ; 5 403 3. Нахождение области значений тригонометрических функций, используя свойство ограниченности функций у = sin х и у = cos х (Jsin х| £ 1 , |cosx| < l) 11. Задание: Найдите множество значений функции: а ) у = Т б )у = 1 2 - sin Зх в) у = sin х - cosx; г) у = 3 + 2 s in 2 3x; Решение: а) у = 2 со,х. Так к ак-1 < c o s x < 1, 2~\ ^ 2 °“ х < 2 '; | < . у £ 2 ; £ 0 0 = б) ^ = —;2 .2 1 2 -s in 3 x d) у = 2 sin х + cos х; cosx е )у = cos —- s in - 2 2 д*с) j/ = 3 c o s x -4 s in x . -1 < sin Зх < 1, значит - < у < I , Е(у) = в) у = sinх- cosx. J- 1 Приведем функцию к виду у = sinх - cosx = —sin 2 х . - 1 й sin 2 x < 1 ; 1 ^ 1 • ^ 1 ---- < —sin 2х < —; 2 2 2 Е(у) = 1 I 2 ’ 2 . г) ,y = 3 + 2sin 2 3x. Используя формулы понижения степени, преобразуем функцию: 7 = 3 + 2sin 2 Зх = 3 + (1 - cos 6 x) = - cos 6 х + 4; - 1 й cos 6 x < 1 ; - 1 < - c o s 6 x < 1 ; 3 ^ 4 - cos 6 x 5; E(y)=[ 3;5]. 404 д) у = 2 sin x + cos 2 х; • у = 2 sinx + cos2x = 2 sinx + l - s i n 2x = -(sin 2 x - 2 sinx + l) + 2 = - ( s i n x - l )2 + 2 . При sin х = 1 у - 2 . При sin x = - l у = -2. £ 0 0 = [ - 2 ; 2 ]. cosx ё) у = X X cos— sin — 2 2 ( X . х 4)( x • cos— sin — cos - + SU1- I 2 2 ) I 2 2 ) Пользуясь формулами: cos2a = cos2 а - sin2 а ; I я } sin a = с о 9 — а I; а + р а - р cosa + cos о = 2 cos----- — cos------- : 2 2 преобразуем функшпо: 2х . j COS--- Sin у = ----- 1 ------- — = 1 ---- 1 ------ -------- 1 ------ — = cos—+sin— = cos—+ cosl------ I = X . X x . X 2 2 2 12 2/ cos— sin— cos— sm— v 2 2 2 2 = 2 c o s i c o / | - i ] = ^ При c o s f ^ —^ J - ± l исходная функция не определена. - 1 < с о я Г " < 1 ; - j 2 < j 2 c o J ± - f ] < j 2 ; - £ ( y ) = ( - S S ж ) у = 3cosx - 4 sin x. Для преобразования данной функции используем метод вспомогательно го угла: у = 3 c o s x - 4 s in x = 5 f | c o s x - | s i n x j = 5 s in (^ -x ), 3 4 гае sinus = — , соьш = —. 5 5 - 1 < sin(^ - х ) % I; - 5 £ 5sin(^ - х ) S 5; Е(у) - [- 5; 5] 40S Определение. Функция у = / (дг) называется периодической, если сущ ест вует такое число Т > О, что для всех х из области определения х + Т и х - Т также принадлежат области определения и f ( x + Т) = / ( * - 7) =f(x). Число Т называется периодом функции. Наименьший период функции называют основным периодом. Периодическими являю тся все известные тригонометрические функции. у = sin x у = co sx У -tg x у = ctgx Если функция у - f ( x ) периодическая и имеет период Т, то функция Af(kx + b ), где А ,к ,Ь - постоянные, кф 0, также периодична, причем ее период Периодические функции имеют основной период Т0 = 2л\ имеют основной период Т0 = л . равен щ (период не зависит от А и Ь). 12. Задание : Найдите период функции: ч 1 • а) у = -s\nnx\ 71 х ¥ _ 3 6) у = 2ct\ Решение: ч 1 • a) v = — sin^x; 2 в) у = co s5 x co s3 x + sin 5 x sin 3 x ; г) у = 2 s in 2 x c o s x -s in x . б) у - Ч н ) _ 2л _ Т = — = 2; л Т = — = 3 л; в) у = co sS x co s Зх + sin S x sin Зх. 2л После упрощения, получим: у = cos 2х, Т = — = л . г) .у = 2 sin 2 дг cos х - sin х. Используя формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, получим: j/ = 2 ~ ( s i n 3 x + s in x ) - s i n x = sin3x, Т = ^~. Алгебраическая сумма периодических функций будет также периодичес кой с основным периодом, равным наименьшему общему кратному перио дов ее слагаемых (если периоды соизмеримы). 406 13. Задание: Найдите наименьший положительный период функции: o )^ = cosjc + sin2jc; 6) у = co s4x + sin2 х. Решение: а) у = cos х + sin 2jc; cosx: 7 J = 2 ;r ; . 2л sin 2х: Т, = -т-г = л ; И Т = HOK(Tt\T2) = НОК(2л\л) = 2яг; б) у - cos4x + sin2 х; l - c o s 2 x 1 _ 1 у = cos4x + -------------= c o s 4 x — cos2x + —; 2 2 2 cos 4x: cos 2x: 2 ' T _ 2 л- _ л l ~ ~ 4 ~ 2 ’ т 2;r T, = — = л; 2 2 T 3 - любое число; (f;*H T щ HOK(Tt;T2) = HOKj 14. Задание: Найдите период функции: у = arcsin(sin х). Решение: у - arcsin(sin х). По определению периодической функции, число Т является периодом, если выполняется равенство:/(х + 7) =/(х). Данная функция является периодической с периодом Т = 2л, т.к. arcsin(sin (х + 2 л)) = arcsin(sin х). Ниже построен график функции у = arcsin(sin х). Ответ: 7’= 2 л: 407 15. Задание-. Найдите наименьший положительный период функции у = sin 4 х + cos4 х. Решение: у = sin4 х + cos4 х; = —+ — cos4x; 4 4 Т = — - — 4 " 2 Ответ: 7 = - . 2 Обратные функции В последние годы в тестах стали встречаться задачи на нахождение функ ции, обратной к заданной. Чтобы найти в явном виде такую функцию, доста точно поменять ролями (местами) буквы, обозначающие функцию и аргу мент и решить полученное уравнение (если оно разрешимо) относительно буквы, обозначающей функцию. 16. Задание: Найдите обратные функции, к следующим функциям: Функция / (х), область определения которой симметрична относительно нуля, называется четной, если для любого х справедливо равенство / (-х ) =/(*). Функция fix ), область определения которой симметрична относительно нуля, называется нечетной, если/(-х) = -/ (х ) для любого значения х. Если область определения функции не является множеством, симметричным а )у = - б ) у = lg (l- x ) . Решение: Меняя ролями функцию и аргумент, получим: х = —— или З х= у- 1 . х — 1 у = Зх + 1 - функция, обратная к функции у - ------- . 6 ) j> = l g ( l - x ) ; x = lg ( l -у ); 1 -у = 10 х. у - 1 - 10 х- функция, обратная к функции 7 = lg (1 - х ) . Четные и нечетные функции относительно нуля, то эта функция не относится к классу четных или нечетных функций. Функцию, не являющуюся ни четной, ни нечетной, называют функцией общего вида. х Например, функция /(дс) = ------ не является ни четной, ни нечетной фун- * + 2 кцией, так как ее область определения есть множество (-o o ;- 2 ) U ( - 2 ; оо), не симметричное относительно нуля. В этом случае выражение / (2) = — имеет смысл, а выражение/ ( - 2 ) не имеет смысла. Указанные ниже функции являются функциями общего вида: 1 ) Vx, £ > 0 0 = [ 0 ;оо) 2 ) - Ц ; D(y) = (-«>; - 3) U (-3 ; 00 ); дг + З 3 ) l g ^ A D (y) = (-*o-,l). 1 - х 17. Задание : Установите четность или нечетность функции: х + 1 а ) / ( х ) = 2 ‘ + 2 6 ) /( x ) = l g ^ ; в ) / ( х ) = ( 2 - х ) 5 - ( 2 + х ) 5. Решение : а) / (х ) = 2 х + 2 ж; D (J) = (-«о; оо); / ( - х ) = 2 х + 2х = / (х ) - функция четная; х + 1 б) / (х ) = lg 1 - х &(/)'■—— > 0 , < 0 ; D ( / ) = ( - 1 ; 1 ) - симметрична относительно нуля; 1 - х х - 1 - х + 1 ' х + 1 ' -I 1 + X 1 - х х + 1 / ( - х ) = lg---------= lg — — = - l g -------= - / ( х ) - функция нечетная; 1 - х в) / (х ) = ( 2 - х ) 5 - (2 + х)5; Д У ) = Ы ; ® ); / ( - х ) = (2 + х )5 - (2 - х )5 = - ( ( 2 - х )5 - (2 + х)5) = - / ( х ) - функция нечетная. В условиях тестирования, очень важно использовать свойства, позволяю щие быстрее исследовать функции на четность, нечетность (не пользуясь оп ределением): 1. Сумма четных функций - функция четная. 2. Сумма нечетных функций - функция нечетная. 3. Произведение четных функций - функция четная. 409 4. Произведение двух нечетных функций - функция четная. 5. Произведение четной и нечетной функций - функция нечетная. 6. Если функция / четная (нечетная), то — четная (нечетная). Приведем примеры нечетных функций (м): jc 2*"1 , sin х, tg х, ctg х, 2k~\fx , - j p y ; и четных функций (ч): - ■ . Г х , | х |, cos х, sin х2, *У = const, tg 2 х, | ctg x I, sin | X | и т.д. 18. Задание: Выясните четность или нечетность функции: о) fix ) = |х| • х* + х2; в) f(x ) = 2 - |х| + х2; Л % Isinxl . , б) fix ) = Ц— •+sin х; г) /(х) = 0,5xJ - 5х + х; sinx л\ /•/ \ Jf+sinx д) fix ) = — -----Г . г +х Решение: °) fix ) = |х) -х4 + х 2 - четная; (ч )(ч ) + (ч) (») ,, Isinxl . , . , 1 о) fix ) = —— + sm x= sin х -------+ sin х - нечетная; sinx sinx 0 0 - 0 0 + (« ) <«) в) fix ) = 2 - |х| + х2 - четная; (ч )-(ч )+ (ч ) г) fix ) = 0,5х3 - 5х2 + х - функция общего вида; (м )-(ч)+ (н ) (») ЛЛ f t \ *+sin Jc _ о) fix ) — —-— —— четная, х + х (») 410 Для определения четности, нечетности функции по ее графику, использу ют следующие факты: 1. График четной функции симметричен относительно оси ординат (Оу). Например: кУ ♦У V x 2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например: У У 4 у 3. Примеры функций общего вида: / / \ 3 / | \---- ► ‘ 4 / X h ‘ 411 |