Ііі-бөлім. Интерполяция және функцияны жуықтау 1 Функцияны жуықтау Есептің қойылымы және негізгі ұғымдар
жүктеу/скачать 0,82 Mb.
|
3-ши болим
- Бұл бет үшін навигация:
- Мысал.
| 3. Интерполяция дәлдігі. Интерполяциялық көпмүшеліктің (3.1.2) шартын қанағаттандыратыны, яғни интерполяция түйіндерінде функция мәндерімен тең болатыны бізге белгілі. Егер функцияның өзі n- дәрежелі көпмүшелік болса, онда . Жалпы жағдайда интерполяция түйіндерінен өзгеше нүктелерде . Бұл интерполяция қателігі болып табылады және интерполяциялық формуланың қалдық мүшесі деп аталады. Осы қалдықты бағалайық.
функция үзіліссіз және n+1-ші ретті үзіліссіз туындылары бар болсын. Бұл жағдайда Лагранж интерполяциялық көпмүшеліктің қалдық мүшесі келесі түрде болатынын көрсетуге болады ([2] қара): , мұндағы - функцияның қандайда бір нүктедегі n+1-ші ретті туындысы. Егер осы туындының максимальды мәні тең болса, онда келесі түрдегі қалдық мүшені бағалау формуласын аламыз: (3.2.12) Мысал. интерполяция түйіндері ала отырып, Лагранж интерполяциялық көпмүшелік көмегімен функцияның x=115 нүктедегі мәнін қандай дәлдікпен есептеуге болатынын анықтаңдар. Шешуі: Ол үшін (3.2.12) формуласын қолданамыз. Бұл жағдайда n=2, функцияның үшінші ретті туындысын анықтаймыз: Осыдан , Онда (3.2.12) формулада интерполяция түйіндері бір-бірінен бірдей арақашықтықта орналасқан жағдайда, яғни , болаған жағдайда Ньютон интерполяциялық көпмүшеліктің қалдық мүшесінің бағалауын аламыз: (3.2.13) Кесте түрінде берілген функция үшін интерполяциялық көпмүшелік тек біреу ғана. Егер есептеулер қателіксіз жүргізілсе Лагранж, Ньютон формулалары және басқа формулалар бір ғана көпмүшелікті береді. Бұл формулалардың айырмашылығы тек оларды құру алгоритімінде және Лагранж интерполяциялық көпмүшелікте коэффициенттірді нақты анықтау өрнегі жоқ. Мысал. кесте түрінде берілген:
Ньютонның бірінші интерполяциялық көпмүшелікті құрып, x=2,5 нүктедегі интерполяция қателігін бағалағдар. Шешуі: Алдымен ақырлы айырымдар кестесін құрамыз:
ескере отырып, 2 пункттегі (3.2.9) формуласынан Енді интерполяция қателігін бағалау үшін, алдымен функцияның [2;4] кесіндідегі үшінші ретті туындының ең үлкен мәнін анықтайық: және тең болғандықтан, (3.2.13) бойынша интерполяция қателігі жүктеу/скачать 0,82 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|