Ііі-бөлім. Интерполяция және функцияны жуықтау 1 Функцияны жуықтау Есептің қойылымы және негізгі ұғымдар
жүктеу/скачать 0,82 Mb.
|
3-ши болим
- Бұл бет үшін навигация:
- Квадраттық интерполяция
| 2. Нүктелік жуықтау. Нүктелік жуықтау түріне нақтылы тоқтала кетейік. Жоғарыда айтқанымыздай нүктелік жуықтаудың негізгі түрлерінің бірі – интерполяция болып табылады.
функциясы кесте түрінде берілсін, яғни аргумент мәндерінің жиыны және сәйкесінше функцияның мәндер жиыны берілсін, мұндағы , . функциясын (3.1.1) көпмүшелігі түрінде анықталған фуннкциясымен жуықтаймыз. Интерполяция глобальді және локальді болып екі түрге бөлінеді. Егер (3.1.1) көпмүшелігі функциясын қарастырылып отырған кесіндінің барлық нүктесінде жуықтаса, интерполяция глобальді деп аталады. Бұл жағдайда және интерполяциялық көпмүшеліктің коэффициенттері (3.1.2) шартынан алынған (3.1.4) сызықтық теңдеулер жүйесін шешу арқылы анықталады. Глобальді интерполяцияға Лагранж, Ньютон интерполяциялық көпмүшеліктері жатады. Егер интерполяциялық көпмүшелік кесіндінің қандайда бір бөлігі үшін анықталып, сол бөліктегі х аргументтер үшін функциясын жуықтаса, мұнадай интерполяция локальді деп аталады. Бұл жағдайда . Локальді интерполяцияның негізгі мағынасы - функциясын әр аралықта дәрежесі жоғары емес көпмүшеліктермен жуықтау болып табылады. Локальді интерполяцияға сызықты, квадраттық интерполяция жатады. Әдетте, интерполяциялық көпмүшелік интерполяциялық түйіндері арасындағы аралық нүктелердегі функцияны жуықтау үшін қолданылады. Бірақ тәжірибеде кейде кесіндіден тыс ораналасқан нүктелердегі функцияның мәнін есептеу керек болады. Осы нүктелердегі функцияның жуық мәнін анықтау процесін экстраполяция деп атайды. Жоғарыда аталған интерполяция түрлеріне тоқтала кетейік. 3. Сызықты және квадраттық интерполяция. Локальді интерполяцияның қарапайым және жиі қолданылатын түрі – сызықты интерполяция болып табылады. Бұл интерполяция түрінде нүктелер түзу сызықтармен қосылады (3 сурет), яғни функциясы төбелері берілген нүктелер болатын сынықтармен жуықталады. 3 сурет Жалпы жағдайда әр аралықтағы түзудің теңдеуі әр түрлі. n аралық бар болғандықтан, әр қайсысы үшін интерполяциялық көпмүшеліктің теңдеуі ретінде екі нүкте арқылы өтетін түзу теңдеуі қолданылады. i аралық үшін және нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін келесі түрде жазуға болады: Осыдан (3.1.5) мұндағы , . Сонымен, сызықты интерполяцияны қолданған кезде, алдымен х аргументінің қай аралықта жататынын анықтап, кейін (3.1.5) формуланы қолданып, функцияның осы нүктедегі жуық мәнін табу керек. Квадраттық интерполяция жағдайын қарастырайық. Квадраттық интерполяция. Квадраттық интерполяция да локальді интерполяцияның бір түрі болып табылады. кесіндісінде интерполяциялық функция ретінде квадраттық үшмүше алынады. Мұндай интерполяцияны квадраттық немесе параболалық интерполяция деп атайды. Квадраттық үшмүшенің теңдеуі: , үш белгісіз коэффициенттерден тұрады. Оларды анықтау үшін параболаның нүктелер арқылы өтуін ескеріп, (3.1.6) сызықты теңдеу жүйесінен интерполяциялық көпмүшеліктің коэффициенттерін анықтаймыз. Мысал: кесте түрінде берілсін:
Осы функцияның х=0,32 нүктедегі жуық мәнін сызықты және квадраттық интерполяция арқылы анықтаңдар. Шешуі: 1) Алдымен (3.1.5) сызықты интерполяциялық формуласын қолданайық. х=0,32 аргументі және нүктелердің арасында орналасқан. Бұл жағдайда: . Интерполяциялық функция келесі түрде анықталды: және . Онда функцияның х=0,32 мәні тең болады. 2) Квадраттық интерполяцияны қолдансақ, (3.1.6) есептеу жүйесін нүктесіне жақын түйіндерді ескеріп құрастыру керек. сәйкесінше , онда (3.1.6) жүйесі келесі түрде болады Бұл жүйеден коэффициенттерін тауып аласақ: , интерполяциялық функция келесі түрде анықталады: . Онда функцияның х=0,32 мәні тең болады. жүктеу/скачать 0,82 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|