Ііі-бөлім. Интерполяция және функцияны жуықтау 1 Функцияны жуықтау Есептің қойылымы және негізгі ұғымдар
жүктеу/скачать 0,82 Mb.
|
3-ши болим
|
ІІІ-бөлім. Интерполяция және функцияны жуықтау §3.1 Функцияны жуықтау 1. Есептің қойылымы және негізгі ұғымдар. Бұл бөлімде қарастыратын есептердің мақсаты - f(х) функцияны сипаттау үшін оның аналитикалық түрін (формуласын) анықтау болып табылады. Кейін бұл формулалар функцияны математикалық анализ әдістерімен зерттеу үшін қолданылады (мысалы, функцияның туындыларын, интегралын т.б. анықтау үшін). Функцияны сипттау үшін оның формуласын анықтау керектігі екі негізгі жағдайларға байланысты: Біріншісі (жиі кездесетін жағдай) - функцияның кесте түрінде берілуі, яғни аргумент мәндерінің дискретті жиынына функцияның мәндер жиынының сәйкес қоюлуы болып табылады. мен , сандық мәндері сынақтың немесе қандайда бір есептеулер нәтижесінен алынуы мүмкін. Екінші жағдай - функцияның аналитикалық түрінің күрделі болуы (мысалы, формулада күрделі функцияның болуы оларды компьютерде есептеген кезде көп уақыт алуы мүмкін). Осы жағдайда, есептеу уақытын едәуір азайту үшін, функциясының қарапайым аналитикалық түрін анықтау керек. Әрине, бұл жағдайда функцияның анықталған қарапайым аналитикалық түрі берілген функцияға жақын болуы тиіс. Функциялардың жақындық ұғымы берілген есептің түріне байланысты анықталады. Функцияны жуықтау есебін келтірейік. функциясы нүктелердің дискретті жиынында анықталсын. Бірақ, тәжірибеде бізге -тің аргументтерден өзгеше, басқа нүктелердегі мәні қажет болады. Осы жағдайда, функциясының нақты байланысы, яғни аналитикалық түрі белгісіз болғандықтан, функциясын басқа функцияның көмегімен қарастырылып отырған облыста олардың арасындағы ауытқу аз болатындай жуықтау керек болады. Мұндағы функциясын жуықтаушы функция деп атайды. Көп жағдайда жуықтаушы функция ретінде (3.1.1) m-ші ретті көпмүшелікті алады, мұндағы , (j = 0,1,2,…,m) коэффициенттері көпмүшеліктің берілген функциядан азырақ ауытқуға жетуіне қарай іріктеледі. Жуықтау (аппроксимация) нүктелік және үзіліссіз болып екі түрге бөлінеді. Егер жуықтау нүктелердің дискреттік жиынының негізінде құрылса, онда жуықтау нүктелік деп аталады. Оған интерполяциялау, орташа квадраттық жуықтау және т.б. жатады. Егер жуықтау нүктелердің үзіліссіз жиынының негізінде (мысалы [a, b] кесіндіде) құрылса, онда жуықтау үзіліссіз (немесе интегралдық) деп аталады. функциясы мен жуықтаушы функцияның жақындық критерийі қарастырылып отырған есепке және функциясының қаншалықты дәл берілуіне байланысты анықталады (мысалы, функцияның кесте түрінде берілген кезде , аргументтің және оның мәндерінің дәл немесе жуық түрінде анықталуына байланысты). Тәжірибеде төменде берілген функциясы мен функцияның жақындық критерийлері жиі қолданылады: а) берілген , нүктелердің дискреттік жиынында және функциялардың беттесуі, яғни , . (3.1.2) Мұндай нүктелік жуықтау интерполяция деп аталады. нүктелерін интерполяция түйіндері, ал (3.1.1) көпмүшелігі түрінде алынса, интерполяция көпмүшелігі деп аталынады. Сонымен интерполяциялық көпмүшеліктің функциясына жақындығы - берілген , нүктелердің дискреттік жиынында мәндерінің беттесуі болып табылады, яғни (3.1.2) шартының орындалуы. Бірақ бұл жағдайда , (мұндағы ) нүктелерінде және функциялар мәндері әр түрлі болуы мүмкін. Егер интерполяция көпмүшелігі кесіндісінде (3.1.1) түрінде ізделінсе, онда және (3.1.1) формуладағы көпмүшелік коэффициенттері (3.1.2) шарты бойынша анықталады. Бұл жағдайда біз , (i = 0,1,2,…,n) коэффициенттерге қатысты сызықты теңдеулер жүйесін аламыз. Интерполяция кемшілігі ең кемінде екі жағдайда болуы мүмкін: 1) интерполяция түйіндері көп болған кезде, онда көпмүшелігінің дәрежесі үлкен болады; 2) функцияның мәндері сынақ нәтижесінде немесе қате есептеулер кезінде алынған жағдайда. Екінші жағдайда көпмүшелігінің (3.1.2) формуласын қанағаттандыру шарты міндетті емес және бұл жағдайда пен функциялардың төмендегі жақындық критерийлері қолдану ыңғайлы; б) орташа квадраттық жуықтау арқылы анықталатын пен функциярдың жақындық критерийі. Бұл жағдайда пен функциялардың ауытқу өлшемі (3.1.3) формуласымен анықталады. S шамасы берілген жиынында жуықтау функциясының функциясынан ауытқу квадратының қосындысы ретінде анықталып тұр. Әрине, бұл жағдайда жуықтау функциясын S шамасы минималды болатындай таңдау керек. (3.1.1) көпмүшелік түрінде алынғанда , (j = 0,1,2,…,m) коэффициенттері S шамасы минималды болатындай шарттан анықталады. Мұндай жуықтау тәсілін ең кіші квадраттар әдісі деп аталады. Айта кету керек, бұл әдісте функциясы міндетті түрде интерполяция түйіндері арқылы өту шарты қойылмайды, бұл жағдайда пен функциялардың жақындығы «орташа» мағынада, яғни (3.1.3) формуласы арқылы анықталады. в) бірқалыпты жуықтау кезіндегі пен функциярдың жақындық критерийі. Жоғарыда қарастырылған жуықтауларда пен функциялар мәндерінің ауытқуы кейбір нүктелерде біршама үлкен болуы мүмкін. Сондықтан кейбір практикалық есептерде және теориялық зерттеулерде функциясы анықталған кесіндісіндісінің барлық нүктелерінде -тің -тан ауытқуы абсолюттік шамасы бойынша берілген аз шамадан кіші болу шарты: , қойылады. Бұл жағдайда функциясы функциясын кесіндісінде бірқалыпты жуықтайды дейді. Мұнда пен функциялардың жақындық критерийі пен функциялардың абсолюттік ауытқу ұғымымен анықталады . дәлдікпен функциясын функциясымен бірқалыпты жуықтау шарты, теңсіздіктің орындалуын білдіреді. Жоғарыда қарастырылған үш жуықтаулардың: интерполяция, орташа квадраттық жуықтау және бірқалыпты жуықтау арасындағы айырмашылықты төменде берілген суреттерден көруге болады, мұндағы а – интерполяция; б – орташа квадраттық жуықтау; в – бірқалыпты жуықтау; 3-сурет. жүктеу/скачать 0,82 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|