Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ

1. 
   Курош А.Г. Теория групп // М. Наука, 1967г. 648с.
   
2. 
   Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.М. Основы теории групп // М.: Наука. 1982г. С. 248.
   
3. 
   Горчаков Ю.М. Группы с конечными классами сопряженных элементов // Наука. Москва.1978 г. С. 212.
   

УДК 512.7

В 1843 году У. Гамильтон ввел понятие кватернионов как обобщение комплексных чисел на четырехмерное пространство и записываются выражениями следующего вида:

где - произвольные действительные числа, называемые компонентами кватерниона , а - кватернионные единицы.

Кватернионное произведение обозначается знаком и определяется следующими правилами умножения кватернионных единиц:

В качестве примера оперирования кватернионами приведем аналог формулы Эйлера. Рассмотрим экспоненциальную функцию от кватерниона вида:

где - переменная одного кватернионного переменного.

В силу того, что - действительное число, оно коммутирует по своей базисной единице с остальными единицами, тогда

Допустим, что экспоненциальная функция разложена в следующем виде:

Беря производную из (3) по получим следующее равенство:

или .

Продифференцировав по первое равенство, получим

Для уравнения (5) поставим начальные условия, т. е. при =0

Аналогичные уравнения получаются для и

Решив уравнения (5), (6), (7) и (8) при соответствующих начальных условиях, имеем:

В свою очередь аналог формулы Эйлера для кватернионов записываются в виде

Отсюда следует, если кватернион используется в качестве аргумента элементарной функции, он может быть представлен как условное комплексное число с условной мнимой единицей:

В этой записи кватернион сохраняет свойства комплексного числа:

Используя это свойство мы можем найти элементарные функции от кватернионного переменного. Для этого

1. 
   заменим кватернион условным комплексным числом
   

2. 
   раскрываем элементарную функцию как функции комплексного переменного
   
3. 
   после этого переходим к обратной замене
   

Выпишем для наглядности некоторые элементарные функции кватерниона

Итак, с помощью замены кватернионов условным комплексным числом, мы можем получить аналитические выражения для элементарных функций кватернионов.