Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ
жүктеу/скачать 13,94 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- К теории групп с конечными классами сопряженных элементов
Литература Теняева Л. И. О центральной эквивалентности элементов смежных классов группы //Тезисы докладов Международной научной конференции студентов, магистрантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» часть 1. Астана. 2009 г. Изд. ЕНУ. С. 64-65. Павлюк Инесса И. Отношение центральной сравнимости в теории групп //Доклады АН РТ.-2009.-Т. 52(8).-С. 593-597. УДК 512. 54. К теории групп с конечными классами сопряженных элементов Садыкова Р. С. Павлодарский Государственный университет им. С. Торайгырова, Павлодар Научный руководитель – Павлюк И. И. В монографии [1] приведено предложение 7.21. Оно играет важную роль в теории групп с конечными классами сопряженных элементов. Его доказательство, как сказано в [1], «очевидно». Раскрытию этой «очевидности» посвящена посвящена настоящая заметка. Элементы группы сопряжены, если имеет место формула  .
Отношение «» на является бинарным отношением эквивалентности [2], а группа разбивается на классы эквивалентности , которые не пересекаются. Если каждый класс содержит лишь конечное множество элементов, то группа будет группой с конечными классами сопряженных элементов, т.е. - группой [1]. Центр  группы - это подгруппа группы такая, что  , где  - централизатор элемента  в группе . Очевидно,  - инвариантная подгруппа группы , а множество  элементов (комплексов) образует группу относительно операции умножения комплексов . Эта группа  и есть факторгруппа группы по подгруппе [4].
Предложение. Пусть - группа - подгруппа центра группы . Если факторгруппа - группа по ее подгруппе центра будет группой с конечными классами сопряженных элементов (- группой), то и сама группа будет - группой.
Доказательство. Наша задача состоит в том, чтобы при данных условиях предложения показать, что в группе произвольный класс сопряженных элементов конечен, т.е.  .
Рассмотрим элементы  факторгруппы  . Так как в классы сопряженных элементов конечны, а мощность  класса  сопряженных элементов факторгруппы равна мощности  , где  , а  . Из последнего равенства следует, что  . Так как  , где  , а  , то из конечности множества  (по условию) и равенства  , следует, что  (конечна). Поскольку  , где  , , то  . Из конечности множества  следует, что существует бесконечно много элементов  , а в - бесконечно много элементов  таких, что  ,  . Отсюда следует, что  и  и  . Так как , то класс  конечен.
Предложение доказано. Работа написана в нераздельном соавторстве с научным руководителем.
жүктеу/скачать 13,94 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|