Iii республикалық студенттік ғылыми-практикалық конференциясының баяндамалар жинағЫ
жүктеу/скачать 13,94 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Вспомогательные предложения ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1 [3].
Литература Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа.- М.: Наука, 1980. УДК 517.929 ОБ АНТИПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ Борбасова А.Т. Южно-Казахстанский Государственный Университет им. М.Ауезова, г. Шымкент, Научный руководитель – д.ф.-м.н., доцент Шалданбаев А.Ш. Введение В работе [1] изучены спектральные свойства краевой задачи 
где В настоящей заметке мы рассмотрим более широкий класс уравнений, но с менее общим краевым условием:  , (1.1)
 , (1.2)
где -вещественная величина из полуинтервала   , а -спектральный параметр. В частности, при  наши результаты совпадают с соответствующими результатами работы [1], а отличие состоит в том, что появляется дополнительный спектр и собственные функций соответствующие этим дополнительным собственным значениям не полны в пространстве  , хотя собственные функций соответствующие к основной серии образуют (после нормировки) ортонормальный базис пространства .
Из теории Гильберта-Шмидта известно [2], что самосопряженный и вполне непрерывный оператор имеет полную и ортогональную систему собственных векторов и других собственных векторов он не имеет. Не вполне непрерывный, но самосопряженный оператор может иметь полную ортогональную систему собственных векторов и соответствующих им вещественных собственных значений. Спектр такого оператора состоит из собственных значений и предельного спектра, являющегося предельными точками множества собственных значений. Спектр, изученной нами задачи (1.1)-(1.2) резко отличается от спектра выше упомянутого класса операторов и в этом состоит особенность этой задачи. Вспомогательные предложения ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1 [3]. Система элементов  ,  называется
базисом гильбертова пространства , если каждый элемент  . (2.1)
Если, кроме того, выполняются равенства  ,  (2.2)
то базис Примером ортонормированного базиса в вещественном пространстве является тригонометрическая система
  (2.3)
Пусть  - произвольный ортонормированный базис пространства и -некоторый линейный ограниченный обратимый оператор. Тогда для любого вектора 
 ,
и следовательно,  ,
где
 ,  ,  . (2.4)
Очевидно, , ().
Поэтому, если  , (2.5)
то
т.е. разложение (2.5) единственно. Таким образом, всякий ограниченный обратимый оператор преобразует любой ортонормированный базис в некоторый другой базис пространства  Базис  , пространства , получаемый из ортонормированного базиса с помощью такого преобразования, называется базисом, эквивалентным ортонормированному (по терминологии Н.К.Бари [4] –базисом Рисса).
жүктеу/скачать 13,94 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
