Информационное письмо

Линейные системы можно проинтегрировать общими методами, но для них существует и специальная теория интегрирования, основанная на некоторых замечательных свойствах этих систем и их решений.

Если при всех рассматриваемых значениях все равны нулю, то эта система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Предполагаем, что функции и определены и непрерывны в интервале . Тогда система (1) имеет единственное решение

,

определенное во всем интервале и удовлетворяющее начальным условиям:

при , причем начальные данные можно задавать совершенно произвольно, а нужно брать из интервала . Всякое решение линейной системы является частным, так что особых решений она не имеет.

Интегрирование неоднородной линейной системы (1) приводится к интегрированию однородной системы:

, (2)

Однородная линейная система всегда имеет нулевое решение . Оно удовлетворяет нулевым начальным условиям при .

Других решений, удовлетворяющих нулевым начальным условиям, нет. Для построения общего решения однородной линейной системы (2) достаточно знать линейно независимых в интервале (и тем самым ненулевых) частных решений, т.е. таких решений, для которых тождества

,

где – постоянные числа, которые могут выполняться только при . Такая система решений называется фундаментальной. Чтобы система решений была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Вронского (вронскиан) был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала . При этом отличен от нуля во всех точках интервала .