Информационное письмо

Инженеру-исследователю постоянно приходится в своей деятельности сталкиваться с дифференциальными уравнениями. Многие задачи механики, физики, химии и других отраслей науки и техники при их математическом моделировании сводятся к дифференциальным уравнениям. В связи с этим решение дифференциальных уравнений является одной из важнейших математических задач. В вычислительной математике изучаются численные методы решения дифференциальных уравнений, которые особенно эффективны в сочетании с использованием вычислительной техники.

Прежде чем обсуждать методы решения дифференциальных уравнений, напомним некоторые сведения из курса дифференциальных уравнений, и в особенности те, которые понадобятся при дальнейшем изложении. В зависимости от числа неизвестных переменных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную, и уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых переменных. Данная глава посвящена методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции . Их можно записать в виде:

где – независимая переменная.

Наивысший порядок , входящей в уравнение (1) производной называется порядком дифференциального уравнения. В частности, запишем уравнения первого и второго порядков:

,

.

В ряде случаев из общей записи дифференциального уравнения (1) удается выразить старшую производную в явном виде. Например,

(2)

Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной. Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линейное относительно искомой функции, и ее производных. Например, – линейное уравнение первого порядка.

Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая раз дифференцируемая функция , которая после ее подстановки в уравнение, превращает его в тождество.

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка (1) содержит произвольных постоянных :

где (3) является решением уравнения (1) при любых значениях , а любое решение уравнения (1) можно представить в виде (3) при некоторых .

Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения. Для уравнения первого порядка общее решение зависит от одной произвольной постоянной:

. (4)

Если постоянная принимает определенное значение , то получается частное решение: .

Дадим геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения второго порядка (2). Поскольку производная характеризует наклон касательной к графику решения (интегральной кривой) в данной точке, то при из (2) получим – уравнение линии постоянного наклона, называемой изоклиной. Меняя , получаем семейство изоклин.