Информационное письмо



бет9/29
Дата28.12.2021
өлшемі1,85 Mb.
#128954
түріЛекции
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   29
Байланысты:
Силлабус теоретические основыДУ и выч матем маг

Литература: [8] гл. VI, стр.199-221
5 неделя

Тема: Нелинейные системы

Содержание лекции: Приведение систем дифференциальных уравнений к одному уравнению методом исключения неизвестного. Интегрируемые комбинации. Первые интегралы системы.

Систему дифференциальных уравнений можно свести путем исключения неизвестных к одному уравнению (иногда к нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом).


Решим систему уравнений:

(1)

Исключаем из данных уравнений. Из первого уравнения имеем . Подставляя во второе уравнение, получаем после упрощений



Данная система уравнений (1) приведена к одному уравнению второго порядка. Это уравнение может быть решено методом понижения порядка. После того как из этого уравнения будет найдено , следует найти , пользуясь равенством .

При решении системы уравнений путем исключения неизвестных обычно получается уравнение более высокого порядка, поэтому во многих случаях удобнее решать систему путем отыскания интегрируемых комбинаций.
Решим систему в симметрической форме:
(2)

Первые две дроби образуют интегрируемую комбинацию. Сокращая равенство



на и интегрируя, получаем первый интеграл



. (3)
Чтобы найти вторую интегрируемую комбинацию, воспользуемся следующим свойством равных дробей: если , то при любых имеем:

.

Пользуясь этим свойством, получаем из (2)



,

.

Следовательно,



. (4)

Очевидно, первый интеграл (3) и первый интеграл (4) независимы.

Система решена.
Вместо того чтобы искать вторую интегрируемую комбинацию, можно, воспользовавшись знанием первого интеграла (3), исключить из системы (2) одно из неизвестных, например, . Из (3) имеем

.

Подставляя во второе из уравнений (2), получаем .

Отсюда ; . Подставляя сюда выражение для из формулы (3), находим еще один первый интеграл: .



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   29




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет