Информационное письмо

Систему дифференциальных уравнений можно свести путем исключения неизвестных к одному уравнению (иногда к нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом).

Исключаем из данных уравнений. Из первого уравнения имеем . Подставляя во второе уравнение, получаем после упрощений

Данная система уравнений (1) приведена к одному уравнению второго порядка. Это уравнение может быть решено методом понижения порядка. После того как из этого уравнения будет найдено , следует найти , пользуясь равенством .

При решении системы уравнений путем исключения неизвестных обычно получается уравнение более высокого порядка, поэтому во многих случаях удобнее решать систему путем отыскания интегрируемых комбинаций.
Решим систему в симметрической форме:
(2)

Первые две дроби образуют интегрируемую комбинацию. Сокращая равенство

на и интегрируя, получаем первый интеграл

Пользуясь этим свойством, получаем из (2)

Следовательно,

Очевидно, первый интеграл (3) и первый интеграл (4) независимы.

Система решена.
Вместо того чтобы искать вторую интегрируемую комбинацию, можно, воспользовавшись знанием первого интеграла (3), исключить из системы (2) одно из неизвестных, например, . Из (3) имеем

.

Подставляя во второе из уравнений (2), получаем .

Отсюда ; . Подставляя сюда выражение для из формулы (3), находим еще один первый интеграл: .